Factorisation.

[Mathematinooo]

Bonjour tout le monde et merci pour vos efforts. Je cherche une idée pour factoriser les expressions:
et .
J'ai essayé un changement de variable avec B en posant .

[Mateo_13]

Bonjour,

: ceci n'est pas factorisable dans .

Peux-tu utiliser les nombres complexes ? Si oui, la formule avec le discriminant fonctionne.

Cordialement,

[Mathematinooo]

Merci matio 13 mais ils faut résoudre le problème dans R.

[Mateo_13]

Bon, alors tu as répondu à la deuxième question. Pour la première, je ne sais pas.

[lyceen95]

Précise un peu.

Option n°1 : tu n'as jamais entendu parler des complexes, tu ne peux pas t'en servir.
Option n°2 : tu connais les complexes, tu sais les utiliser, et il y a peut être une solution où on utilise les complexes dans des étapes intermédiaires du raisonnement, mais on se retrouve avec uniquement des réels à la fin.

Si tu es dans l'option 2, le bébé se présente bien. Alors que dans l'option 1, ça paraît plus compromis.

[Mathematinooo]

lyceen95 . J'ai jamais entendu par les nombres complexe.
C 'est un exercice sur les ensemble Premiere année du lycée.

[catamat]

Bonjour

Pour le A on peut, dans R, mettre x²+x+1 en facteur mais c'est pas simple simple... (on ajoute et enlève les puissances successives de x entre x^7 et x²).
Si on note y le trinôme x²+x+1 on a :

[Mathematinooo]

Catama: Merci beaucoup, vraiment c'est pas simple et merci pour les autres également.

[catamat]

Bon je me suis intéressé un peu plus à la factorisation par x²+x+1, j'aimerais que vous me disiez s'il existe des moyens plus rapides que celui que je vais développer ici.

En fait x²+x+1 comme cela a été dit admet deux racines complexes conjuguées, que je vais noter a et a'.

Si P est un polynôme a coefficients réels

P(a)=0 est équivalent à a et a' racines de P(x)
qui est équivalent à P(x)=(x-a)(x-a'Q(x)
ou encore à P(x)=(x²+x+1) Q(x).

Il suffit donc que a soit racine de P pour qu'il soit divisible par (x²+x+1)

On sait que a²+a+1=0
donc a²=-a-1
en multipliant par a plusieurs fois on trouve :

,
on retrouve périodiquement les valeurs précédentes






...etc

Donc si
P(a)=a-a-1+1=0, donc P(x) est divisible par x²+x+1
On trouve par division polynomiale

[Mateo_13]

Bravo catamat !

En théorie, les polynômes irréductibles sur sont de degré 1 ou 2,
donc on devrait pouvoir factoriser davantage.

Cordialement,

[Ben314]

Salut,
Pour le B, le problème, c'est que (pour ) donc les 10 racines complexes de B, c'est les racines 15-em de l'unité qui ne sont pas racine 5em de l'unité c'est à dire, si on pose les avec ainsi que leurs conjugués.
Et si on regroupe les facteurs de degré 1 deux à deux pour faire des facteurs réels de degré 2, ça donne où les cosinus sont certes exprimables sous forme de radicaux (vu que c'est le cas pour 2pi/3 et 2pi/5), mais avec une sacré mauvaise tête sauf pour k=5 qui donne gentiment le facteur x²+x+1.