Calculer un ordre dans un groupe

[e5mm100]

Bonjour ,

j'ai deux questions sur le calcule d'un ordre dans un groupe ,

1) je sais que pour calculer l'ordre d'un groupe ,il faut faire apparaître l'élément neutre du groupe.
Par exemple : pour calculer l'ordre de 27 dans (Z/66Z,+) ; je fait 27+27...+27 (en tout 22 fois ) pour faire apparaître l'élément neutre qui est ici 1 et du coup l'ordre de 27 dans (Z/66Z,+)=22

et pareil pour l'ordre de 13 dans (Z/11Z)* sauf que ici l'élément neutre est 0 et que c'est une multiplication, donc ici l'ordre de 13 dans (Z/11Z)=4

Du coup j'aimerais savoir s'il existe une méthode plus efficace pour calculer un ordre surtout pour le premier exemple qui est assez long.

2) mon deuxième problème concerne un exercice :
calculer l'ordre de 145^87 dans (Z/839Z)* sachant que 145 est un générateur du groupe (Z/839Z)* et que 839 est un nombre premier .

ici le problème c'est que je ne peux pas appliquer la méthode que j'ai utilisé plus haut et du coup je ne sais pas comment faire >.<

merci d'avance pour votre aide

[GaBuZoMeu]

Bonjour,

Tu sais sûrement que l'ordre d'un élément divise l'ordre du groupe. Le groupe additif de Z/66Z est d'ordre 66 = 2*3*11. L'ordre de 27 = 3³ est forcément 2*11=22.
Le groupe multiplicatif de Z/11Z est d'ordre 10, l'ordre d'un élément différent de 1 est 2, 5 ou 10. Tu t'es trompé dans ton calcul.

Pour la 2e question, tu sais que le groupe multiplicatif de Z/839Z est cyclique d'ordre 838 puisque 839 est premier, et on te demande l'ordre de la puissance 87ème d'un générateur de ce groupe cyclique.

[azf]

Bonjour

Vous vous êtes placés dans le groupe additif

évitez de manipuler directement les éléments x de Z

pour cela utilisez directement les éléments de votre groupe(ça va vous simplifier la vie)

pour ,

pour ,

vous ferez vos calculs en passant par ces deux transformateurs à chaque fois comme ça vous serez tranquille et pas vous retrouver à calculer avec des gros nombres de Z et qui ne sont pas dans votre groupe parce que votre élément se trouve toujours dans un reste de division

[e5mm100]

Bonjour,

Tu sais sûrement que l'ordre d'un élément divise l'ordre du groupe. Le groupe additif de Z/66Z est d'ordre 66 = 2*3*11. L'ordre de 27 = 3³ est forcément 2*11=22.
Le groupe multiplicatif de Z/11Z est d'ordre 10, l'ordre d'un élément différent de 1 est 2, 5 ou 10. Tu t'es trompé dans ton calcul.

Pour la 2e question, tu sais que le groupe multiplicatif de Z/839Z est cyclique d'ordre 838 puisque 839 est premier, et on te demande l'ordre de la puissance 87ème d'un générateur de ce groupe cyclique.

oui pardon j'ai fait un faute de frappe c'est l'ordre de 13 dans (Z/Z17)*
par contre je sais pas comment faire pour trouver l'ordre de a puissance 87ème d'un générateur

[e5mm100]

Bonjour

Vous vous êtes placés dans le groupe additif

évitez de manipuler directement les éléments x de Z

pour cela utilisez directement les éléments de votre groupe(ça va vous simplifier la vie)

pour ,

pour ,

vous ferez vos calculs en passant par ces deux transformateurs à chaque fois comme ça vous serez tranquille et pas vous retrouver à calculer avec des gros nombres de Z et qui ne sont pas dans votre groupe parce que votre élément se trouve toujours dans un reste de division

est ce que vous pouvez me donner un exemple s'il vous plait

[GaBuZoMeu]

87 = 3*29 et ni 3 ni 29 ne divisent 838 ....

[azf]

un exemple? bah par exemple je sais pas moi







et comme du coup