Trouver la fonction exposant

[Carpate]

Je reformule ta question.
Trouver la (les) fonction(s) f vérifiant l'équation :
quelqes soient
En évaluant f en une valeur bien choisie de b tu peux montrer que f0) =1

Ce que tu appelles fonction exposant n’est autre que la fonction exponentielle.

[tournesol]

ou f(0)=0 ; on obtient la fonction exponentielle nulle .
Si f(0)=1 f(a) n'est jamais nul car f(a)f(-a)=f(a+-a)=f(0)=1
Pour répondre à ta question lorsque f(0)=1 :
On a f(0)=1=f(1)^0
Supposons f(n)=f(1)^n
Alors f(n+1)=f(n)f(1)=f(1)^n x f(1) =f(1)^(n+1)
Ainsi pour tout entier naturel n , f(n)=f(1)^n .
f est donc la fonction exponentielle de base f(1) .

[azf]

Bonjour

c'est à dire que je suppose qu'il a voulu dire que

évaluer f c'est se donner une base pour un log et de son exponentielle réciproque correspondante

la base de l'exponentielle est pour strictement positif et non de valeur 1

sur cette base on a un logarithme de base et ce log est



non de valeur 1 car ln 1 = 0 et là on a une division par zéro

[tournesol]

C'est à dire ?
tu remplaces a et b par 0 .

[lyceen95]

Tournesol a répondu à la question 'c'est à dire ?' avant même que la question ne soit posée.

En choisissant b = -a, on obtient une formule simple.
En choisissant a=0 et b=0, on obtient une autre formule simple.

Mais plutot que répondre par bribes à cette question, je pense qu'un bon cours de lycée va donner une réponse très bien rédigée à cette question.
Idéalement, un bouquin de première des années 80 ou 90, tu y trouveras un chapitre complet sur ta question.

[azf]

J'ai du mal à comprendre vos explications. Deja pourquoi partir de l'idée que f(0) =1 ?
Ca me semble wtf dit comme ça.

Bonjour

tout "a" non nul puissance 0 donne 1

ici "f(x)" désigne a puissance x

ce "a" est une base d'exponentielle pour tout "a" strictement positif non de valeur 1

non de valeur 1 car la réciproque de votre f sera un log en base "a" et on ne pourra pas calculer le log d'un nombre en base 1

[lyceen95]

Par exemple, ce document : http://www.lyc-plaineneauphle-trappes.ac-versailles.fr/IMG/pdf/expo.pdf

[Carpate]

Soit
Comment à partir de cette égalité peut on démontrer que est une fonction exposant?

Re-bonjour,
Tout d'abord ce n'est pas simplement une égalité mais une identité c'est à dire
Je me permets de changer de notation car a et b sont plutôt associés à des constantes
Démontrer que si : équation (1), alors est la fonction exponentielle de base a avec a positif strict .

Il faut donc démontrer qu'une fonction f vérifiant l'équation (1) vérifie certaines propriétés de la fonction exponentielle de base a
- f(0) = 1
- f(x) est strictement positif sur R
- f vérifie une certaine équation différentielle à établir et résoudre pour obtenir l'expression de f

1) montrons qu f(0) = 1
En évaluant f en y = 0 : soit
Solutions :
-
il s'agit de la foncftion f identiquement nulle qui vérifie bien (1) mais qui n'est pas bien intéressante !
on l'écarte dans la suite de la démo.
- f(0) = 1

2) montrons que f est strictement positive sur R
Supposons qu'il existe tel que

pour tout et donc pour tout , c'est la fonction identiquement nulle
donc en dehors de cette fonction il n'existe pas de fonction f qui s'annule sur R soit

pour donc f(u) >0


3) équation différentielle vérifiée par f
On suppose que est


vérifie l'équation différentielle :
équivalence car
Solution:


qui est bien de la forme recherchée.

[lyceen95]

Quel est le statut de chacune des affirmations ci dessous ?

f(x+y)=f(x)f(y)
- Vrai , c'est l'hypothèse de départ
- Peut-être, c'est ce qu'on cherche à établir
- Faux

f(0)=1
- Vrai , c'est l'hypothèse de départ
- Peut-être, c'est ce qu'on cherche à établir
- Faux

Et du coup, je te renvoie la question. Comment, toi , tu passes de : f(x+0)=f(x)*f(0) à f(x)=f(x)*1 ?

[Carpate]

@lazare

Tu ne vois vraiment pas ce que vaut ?
Et tu ne sais pas factoriser ?

[lyceen95]

- Peut-être, c'est ce qu'on cherche à établir NON
et
- Peut-être, c'est ce qu'on cherche à établir OUI

f(x+y)=f(x)*f(y) :
C'est une hypothèse de départ. On s'intéresse uniquement aux fonctions f telles que pour tout x,y, f(x+y)=f(x)*f(y)
Donc c'est vrai. Ce n'est pas ce qu'on cherche à établir, c'est au contraire notre point de départ.

f(0)=1 : oui, c'est ce qu'on cherche à vérifier , ou à établir.

C'est essentiel quand on essaie de faire des maths de savoir identifier d'où on vient (les hypothèses de départ, les choses déjà connues) et où on va (les choses qu'on cherche à démontrer).
Quand on sait d'où on part et où on veut aller, on a un petit espoir de trouver la route. Quand on ne sait pas d'où on part, c'est impossible.

[lyceen95]

que signifie sans le ?

représente une fonction.
représente un nombre.
représente un nombre.

Souvent, les élèves vont parler de la fonction f(x) ... mais c'est un abus de langage. Les profs sont tolérants, ils laissent passer, comme on laisse passer 99.9% des fautes d'orthographe. Et du coup, les élèves finissent par croire que c'est la bonne formulation.
Mais non.

[lyceen95]

Quand on émet une hypothèse ...

J'ai peut-être mal choisi le mot 'hypothèse'.
Dans notre exercice, on s'intéresse à un certain univers de fonctions, on s'intéresse aux fonctions telles que f(x+y)=f(x)*f(y).

Du coup, le fait que f(x+y)=f(x)*f(y) est un postulat, c'est une propriété des fonctions qu'on est en train d'étudier. C'est plus qu'une hypothèse, c'est un fait acquis.

Dans mon univers, j'ai plein de fonctions. Toutes les fonctions qui ne vérifient pas cette propriété, je les ai mises à la poubelle. C'est fait. Maintenant, j'ai l'assurance de manipuler uniquement des fonctions qui vérifient la propriété : pour tout x,y : f(x+y)=f(x)*f(y)

[lyceen95]

Toutes les fonctions qui nous intéressent ont cette propriété.
Mais rien ne nous dit qu'il existe des fonctions qui ont cette propriété.

Je recopie ce que je disais :
Dans mon univers, j'ai plein de fonctions. Toutes les fonctions qui ne vérifient pas cette propriété, je les ai mises à la poubelle. C'est fait. Maintenant, j'ai l'assurance de manipuler uniquement des fonctions qui vérifient la propriété : pour tout x,y : f(x+y)=f(x)*f(y)

Et j'ajoute, parallèle :
Dans mon placard, j'ai des chemises. Toutes les chemises qui ne sont pas bleues, je les jette. C'est fait. Maintenant, j'ai l'assurance de prendre uniquement des chemises bleues.
A chaque fois que je prends une chemise, elle est bleue, c'est une certitude. Certain. Ce n'est pas une hypothèse.
Mais peut-être que mon placard est vide.