Existence voisinage

[jade75]

Bonjour, je voulais avoir une confirmation d’une propriété toujours vrai dont je pense avoir la réponse :

« Soit f:I->R
Si il existe un b tel que f(b)=0 alors il existe un voisinage V de b inclus dans I tel que pour tout x dans V, |f(x)|<1 »

Je pense que ça viens de la définition de la limite mais je ne suis pas sûr.

Merci d’avance pour votre réponse.

[GaBuZoMeu]

Bonjour,

La propriété n'est pas vraie pour n'importe quelle fonction f ! Je parie que tu as oublié l'hypothèse que f est continue.
Et si tu appliques la continuité en b, qu'est-ce que ça te donne ?

[jade75]

Ah oui merci ça vient de la continuité de b mais si je reprend la définition je prend epsilon = 1 on aura,

Il existe un voisinage de b tel que pour tout x dans ce voisinage |f(x)-f(b)|<1

Comme f(b)=0 on a bien le résultat.

Merci !