Rang

[jeje56]

Bonjour,
Je n'arrive pas à justifier qu'une matrice définie positive est de rang maximal... J'ai montré que ses valeurs propres sont toutes strictement positives.

Merci de votre aide !

[Rhaegar]

Bonjour,

Une matrice est de rang maximal si son déterminant est non nul.

J'espère que ça peut t'aider.

[jeje56]

Merci Rhaegar,
Comment justifier ce résultat ?
Je parviens à montrer que det(A) non nul (valeurs propres >0).

[GaBuZoMeu]

Bonjour,

Ça fait partie du b-a-ba sur le déterminant : une matrice carrée réelle est inversible si et seulement si son déterminant est non nul. N'as-tu jamais vu cela ?

[Rhaegar]

Si ta matrice n'est pas de rang max, une colonne de ta matrice est CL des autres et donc le det est nul.

Je n'ai plus la justification exacte

[Rhaegar]

Une meilleur justification :

Si tu vois ta matrice comme un endomorphisme f de R^n (f(x) = Ax), le rang de f est le même que le rang de A. C'est la dimension de l'image f(R^n). Donc det(A) non nul ssi f est un isomorphisme ssi f(R^n) = R^n ssi f est de rang max ssi A est de rang max.