Le paysan et la chevre

[snatch]

Voici un probleme sympatique, si quelqu'un trouve la solution qu'il me la communique svp et je lui paye une biere par internet

Intitule :

Un paysan possede un champ parfaitement circulaire et une chevre. Il decide de prendre la chevre et de l attachee a un poteau plante sur le circonference du champ, puis il decide de calculer la longueur de la corde qui rattache le chevre au poteau pour que la surface broute par le chevre sur le champ soit la moitie de la surface totale.

Quelle et la longueur de la corde ???

[reivilo]

Il faut répondre avec des " x " ou bien tu a oublier de donner de plus amples informations sur le champ ???????????????

[Lili, Pelican Hydropathe]

Je ne sais, en tout cas ça peut se résoudre de manière "bourrine" je pense, de la manière suivante (cf. dessin).
Le cefcle rouge, c'est le champ, et le cercle vert, celui décrit "en théorie" par la corde... l'espace accessible à la chèvre est celui des aires bleues et jaunes.
Pour simplifier, on consièdre seulement la partie "supérieure" du dessin (on coupe le cercle en deux sur le diamètre qui passe par le point d'attache de la corde = point vert), il y a symétrie..
Calculer l'aire totale ne pose pas de problème (dmei cercle)
Pour les autres... on coupe la surface en deux, par la verticale qui passe par les points d'intersectios des cercles, de manière à intégrer séparemment (méthode bourrine de calcul de surface = intérgation). En effet, à gauche l'aire accessible est limitée par le champ, et à droite par la corde...
L'abscisse du point en question est le point bleu : x0 = R'²/(2R) où R' est le rayon de la crode et R celui du champ.
On trouve cette formule pour x0 soit à l'oeil, soit en égalant les équations des deux cercles (non, je n'ai pas vérifié que ça marche):
*demi cercle rouge = champ : y=sqrt(R²-(x-R)²)
*demi cercle vert = corde : y=sqrt(R'²-x²)
Puis, "on intègre l'équation" du premier demi cercle (rouge = champ) de 0 à x0, on ibtient la première aire (gauche), et on fait de même avec l'équation du deuxième demi cercle (vert = corde) de x0 à R'.
Paf, on additionne ces deux aires, et moyennant quelques bidouillages on obtient a priori R' en fonction de R en posant que airebleue+airegauche=0,5*airetotaleduchamp.
A priori ça marche (???)
Non, je n'ai pas fait le calcul :marteau:
En tout cas, il existe probablement des méthodes plus rapides :dodo:
Par ailleurs, je n'aime pas la bière, mais j'accepte les chèques. Mais je suis contre la lapidation.

[Lili, Pelican Hydropathe]

Mais je suis contre la lapidation.

En fait (oui j'ai pas pu résister à essayer les calculs quand même), les intégrales sont gonflantes, avec des arcsinus qui se baladent un peu partout si je ne m'abuse...
Pour avoir les aires il est plus simple de regarder l'air des "quartiers" de cercle et retirer celle des "triangles".
(exemple pour l'aire bleue : on calcule l'aire délimitée par l'arc qui va du point vert jusqu'au point d'intersection... et on retire celle du triangle pointvert-pointbleu-pointdintersection)
Non, je n'ai toujours pas fait le calcul... et ne vois toujours pas comment résoudre ça rapidement :marteau:

[Lili, Pelican Hydropathe]

Recherches faites, cette "éngime" semble connue...
Bref, solutions diverses, plus ou moins rédigées et sans erreurs de calcul ici : http://www.ilemaths.net/forum-sujet-52411.html (sans vouloir faire de la pub :happy3: )
(((j'aurais dù commencer par là)))

[xdghrghse]

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