Bonjour je coince sur un exercice de maths. Alors voilà l'énoncé : soit f la fonction définie sur R -1 par f(x)= x^2/x^2-2x+1
Déterminer trois réels a,b,c tels que tout x appartenant à R-1
f(x)= a+b/x-1+c/(x-1)^2
Limites
15 messages
- Page 1 sur 1
Re: Limites
par lyceen95 » 24 Oct 2021, 22:51
Tu peux partir de la fin.
Tu as 3 réels a,b,c , et tu as une fonction f définie par f(x)= a + b/(x-1) + c/(x-1)^2
Je mets des parenthèses dans b/(x-1) , parce que sinon, comme tu l'as écrit dans l'énoncé, c'est faux....
Du coup, on peut réduire tout ça au même dénominateur ... ... et on arrive à la solution.
Tu as 3 réels a,b,c , et tu as une fonction f définie par f(x)= a + b/(x-1) + c/(x-1)^2
Je mets des parenthèses dans b/(x-1) , parce que sinon, comme tu l'as écrit dans l'énoncé, c'est faux....
Du coup, on peut réduire tout ça au même dénominateur ... ... et on arrive à la solution.
Re: Limites
par Gustin7 » 24 Oct 2021, 23:03
Alors en mettant tout au même dénominateur je trouve ax^2-2ax+a+bx-1+c mais je n'arrive pas à déterminer les 3 réels a b c puisque au numérateur de f(x) on a x^2.
Re: Limites
par Pisigma » 25 Oct 2021, 06:09
Bonjour,
je te laisserai poursuivre avec lyceen95
une autre méthode plus rapide mais particulière à l'exercice
^2}=\dfrac{ x^2-2x+1 +2x-2+1}{(x-1)^2}= \dfrac{(x-1)^2+2(x-1)+1}{(x-1)^2})
je te laisserai poursuivre avec lyceen95
une autre méthode plus rapide mais particulière à l'exercice
Re: Limites
par Black Jack » 25 Oct 2021, 10:34
Bonjour,
f(x) = x²/(x²-2x+1) (1)
f(x) = a + b/(x-1) + c/(x-1)²
f(x) = [a(x-1)² + b(x-1) + c]/(x²-2x+1) (2)
Il faut donc que les numérateurs de (1) et de (2) soient identiques (pour toutes valeurs de x) , donc que : x² = a(x-1)² + b(x-1) + c (3)
Une méthode parmi d'autres :
Tu attribues à x des valeurs "intelligentes" pour que (3) donne des valeurs faciles pour a, b et c, par exemple :
Si x = 1 cela donne 1 = 0 + 0 + c ---> c = 1, on a donc x² = a(x-1)² + b(x-1) + 1
Une autre valeur "intelligente" est x = 0, et en remplaçant x par 0 dans (3) tu trouveras une relation liant a et b
... essaie, tu devrais trouver a - b = -1 (4)
Une autre valeur "intelligente" est x = 2, et en remplaçant x par 2 dans (3) tu trouveras une relation liant a et b
... essaie, tu devrais trouver a + b = 3 (5)
en additionnant membre à membre (4) et (5) ... tu as alors facilement la valeur de a.
Et avec la valeur de a maintenant connue, tu trouves la valeur de b en utilisant par exemple l'équation (4)
A toi ...
Remarque :
Comme valeur de x "intelligente", on remarque qu'il y a x = 1 ... qui est une valeur interdite dans (1) et (2), cela n'a aucune importance quand il s'agit de déterminer les valeurs de a, b et c telles que (3) soit respectée.
Cela permet de trouver directement la valeur de c et cela est parfaitement permis.
f(x) = x²/(x²-2x+1) (1)
f(x) = a + b/(x-1) + c/(x-1)²
f(x) = [a(x-1)² + b(x-1) + c]/(x²-2x+1) (2)
Il faut donc que les numérateurs de (1) et de (2) soient identiques (pour toutes valeurs de x) , donc que : x² = a(x-1)² + b(x-1) + c (3)
Une méthode parmi d'autres :
Tu attribues à x des valeurs "intelligentes" pour que (3) donne des valeurs faciles pour a, b et c, par exemple :
Si x = 1 cela donne 1 = 0 + 0 + c ---> c = 1, on a donc x² = a(x-1)² + b(x-1) + 1
Une autre valeur "intelligente" est x = 0, et en remplaçant x par 0 dans (3) tu trouveras une relation liant a et b
... essaie, tu devrais trouver a - b = -1 (4)
Une autre valeur "intelligente" est x = 2, et en remplaçant x par 2 dans (3) tu trouveras une relation liant a et b
... essaie, tu devrais trouver a + b = 3 (5)
en additionnant membre à membre (4) et (5) ... tu as alors facilement la valeur de a.
Et avec la valeur de a maintenant connue, tu trouves la valeur de b en utilisant par exemple l'équation (4)
A toi ...
Remarque :
Comme valeur de x "intelligente", on remarque qu'il y a x = 1 ... qui est une valeur interdite dans (1) et (2), cela n'a aucune importance quand il s'agit de déterminer les valeurs de a, b et c telles que (3) soit respectée.
Cela permet de trouver directement la valeur de c et cela est parfaitement permis.
Re: Limites
par Pisigma » 25 Oct 2021, 10:44
Gustin7 a écrit:Alors là j'ai rien compris
suis le conseil de lyceen95
la méthode que j'ai utilisée est plus astucieuse et consiste à essayer de faire apparaître des termes, au numérateur, qui donnent des simplifications
Re: Limites
par Gustin7 » 25 Oct 2021, 11:16
Dites moi quand mon raisonnement est faux. Je commence à désespèrer, j'essaie de suivre vos conseils mais je ne vois toujours pas la solution.
Alors après réduction au même dénominateur je trouve :
ax^2-2ax+a+bx-b+c/(x-1)(x-1)^2
Mais je ne vois toujours pas comment je peux trouver les valeurs de a,b et c. Je ne comprends pas quand on me dit de trouver des valeurs intelligentes.
Alors après réduction au même dénominateur je trouve :
ax^2-2ax+a+bx-b+c/(x-1)(x-1)^2
Mais je ne vois toujours pas comment je peux trouver les valeurs de a,b et c. Je ne comprends pas quand on me dit de trouver des valeurs intelligentes.
Re: Limites
par Léa314159 » 26 Oct 2021, 14:05
Tu as trouvé Gustin7? Si tu veux je peux essayer de t'expliquer...
Re: Limites
par Gustin7 » 27 Oct 2021, 01:10
Non je n'ai toujours pas trouvé et oui je veux bien de ton aide
Re: Limites
par Black Jack » 27 Oct 2021, 08:51
On t'a indiqué plusieurs méthodes possibles ...
Je reprends la mienne, celle du message du 25 Oct 2021 10:34
On arrive facilement, après avoir remis au même dénominateur à devoir identifier les numérateurs de (1) et de (2) (voir sur le message indiqué)
on doit donc trouver les valeurs de a, b et c telles que : a(x-1)² + b(x-1) + c= x² (3)
Il y a pour ce faire plusieurs méthodes, celle que j'ai expliquée, consiste à choisir des valeurs "intelligentes" de x pour les mettre dans (3)
"Intelligentes" mais très faciles à choisir...
Exemple, en remplaçant x par 1 (parce que cela anulle (x-1) et (x-1)²), (3) devient a*0 + b+0 + c = 1²
Soit donc c = 1 (4)
Une autre valeur "intelligente" de x peut être x = 0 car cela ramène (3) a un calcul très facile : a(0-1)² + b(0-1) + c = 0²
a - b + c = 0
or on a déjà trouvé que c = 1 et donc on arrive à : a-b = -1 (5)
Une autre valeur "intelligente" de x peut être x = 2 car cela ramène (3) a un calcul très facile : a(2-1)² + b(2-1) + c = 2² (avec c = 1)
a + b + 1 = 4
a+b = 3 (6)
On a donc par (5) et (6), le système très simple suivant de 2 équations à 2 inconnues
a-b = -1
a+b = 3
système qui résolu donne : a = 1 et b = 2
On a donc finalement trouvé a = 1, b = 2 et c = 1
*********
Un simple regard sur l'équation a(x-1)² + b(x-1) + c= x² permet de choisir des valeurs "intelligentes" de x qui rendent l'équation très simple.
Et si on n'est pas assez "intelligent" pour bien choisir les valeurs de x "intelligente" , on en prend d'autres, on arrivera au final aux mêmes valeurs de a, b et c ... mais cela aura demandé des calculs un peu plus longs.
Je reprends la mienne, celle du message du 25 Oct 2021 10:34
On arrive facilement, après avoir remis au même dénominateur à devoir identifier les numérateurs de (1) et de (2) (voir sur le message indiqué)
on doit donc trouver les valeurs de a, b et c telles que : a(x-1)² + b(x-1) + c= x² (3)
Il y a pour ce faire plusieurs méthodes, celle que j'ai expliquée, consiste à choisir des valeurs "intelligentes" de x pour les mettre dans (3)
"Intelligentes" mais très faciles à choisir...
Exemple, en remplaçant x par 1 (parce que cela anulle (x-1) et (x-1)²), (3) devient a*0 + b+0 + c = 1²
Soit donc c = 1 (4)
Une autre valeur "intelligente" de x peut être x = 0 car cela ramène (3) a un calcul très facile : a(0-1)² + b(0-1) + c = 0²
a - b + c = 0
or on a déjà trouvé que c = 1 et donc on arrive à : a-b = -1 (5)
Une autre valeur "intelligente" de x peut être x = 2 car cela ramène (3) a un calcul très facile : a(2-1)² + b(2-1) + c = 2² (avec c = 1)
a + b + 1 = 4
a+b = 3 (6)
On a donc par (5) et (6), le système très simple suivant de 2 équations à 2 inconnues
a-b = -1
a+b = 3
système qui résolu donne : a = 1 et b = 2
On a donc finalement trouvé a = 1, b = 2 et c = 1
*********
Un simple regard sur l'équation a(x-1)² + b(x-1) + c= x² permet de choisir des valeurs "intelligentes" de x qui rendent l'équation très simple.
Et si on n'est pas assez "intelligent" pour bien choisir les valeurs de x "intelligente" , on en prend d'autres, on arrivera au final aux mêmes valeurs de a, b et c ... mais cela aura demandé des calculs un peu plus longs.
Re: Limites
par Léa314159 » 28 Oct 2021, 12:28
Gustin7 a écrit:Non je n'ai toujours pas trouvé et oui je veux bien de ton aide
Ok, alors :
Tu as f(x) = x²/(x²-2x+1) et tu veux que f(x) puisse s'écrire sous la forme : f(x)=a + b(x-1) + c/(x-1)².
Déjà, réduis f(x) au même dénominateur pour y voir plus clair. Tu l'avais fait, c'était bien.
Ainsi, on trouve : a(x-1)²+b(x-1)+c/(x²-2x+1).
Tu vois apparaître dans f(x) et f(x) une identité remarquable au dénominateur : (x-1)².
Ainsi, dans f(x) et f(x), le dénominateur est le même. On s'intéresse donc uniquement au numérateur.
Il faut donc que le numérateur de f(x), c'est-à-dire x² soit égal au numérateur de f(x), c'est-à-dire a(x-1)²+b(x-1)+c
Par conséquent, il faut trouver (a, b, c)€ R (dans mes souvenirs) tels que :
a(x-1)²+b(x-1)+c = x².
Ici, tu as plusieurs méthodes possibles. Je vais essayer de les classer de la plus "basique" à la plus "rusée", même si toutes sont respectables.
- La première, c'est de développer. Je crois que tu as essayé de le faire en réduisant au même dénominateur. C'est une technique valable, qui donne :
a(x-1)² + b(x-1) + c = x²
a(x²-2x+1) + bx-b + c = x²
ax² - 2ax + a + bx - b + c = x²
Là, comme ton but est de trouver a b et c, essaie de mettre ton équation sous la forme "égale à 0", donc :
ax² - 2ax + a + bx - b + c - x² = 0
Et là, tu peux factoriser par x ou x² pour avoir une somme de produits qu'il sera facile d'annuler.
x²(a-1)-x(2a-b) + a - b + c = 0
Avec ça, tu poses un système à 3 inconnus (dis moi si jamais tu n'as pas compris pourquoi) :
{a-1 = 0
{2a+b = 0
{a-b+c = 0
Qu'il est facile de résoudre :
{a=1
{b=2
{c=1
Voilà pour la méthode un peu "lourde", mais qui fonctionne.
- 2ème méthode proposée par Black Jack : les valeurs intelligentes.
C'est, en gros, la première méthode mais prise dans l'autre sens. En fait, il a cherché des valeurs de x précises, qui permettaient de simplifier l'équation et de trouver plus facilement a, b et c. Tandis que moi, dans la 1ère méthode, j'ai posé le système sans m'intéresser à la valeur de x. Je te laisse relire son message pour avoir plus de précisions, en espérant t'avoir apporté un éclairage nouveau.
- 3ème méthode : celle de Pisigma.
Je précise que les 2 premières techniques étaient valables dans tous les cas. Ici, c'est spécifique à f(x).
En effet, elle (il) a fait apparaître de nouvelles valeurs pour pouvoir factoriser et trouver facilement, MAIS sans changer l'expression. Je te renvoie à son joli message.
Juste pour tenter de te l'expliquer :
Tu es d'accord que x² - 0 = x² ?
Et tu es d'accord que 0 = -2x+1+2x-1? (je te laisse vérifier)
Donc, x²-2x+1+2x-1 = x².
Et ainsi, on peut factoriser et on retrouver la forme de f(x). Où a = 1, b=2 et c=1.
Voilà! En espérant t'avoir aidé!
Re: Limites
par catamat » 28 Oct 2021, 17:07
Bonjour
Juste une précision, dans la méthode 2 qui consiste à obtenir des équations en remplaçant x par des valeurs adéquates, il est impératif de vérifier l'égalité pour toute valeur de x de Df.
En effet dans ce cas on procède par implications et donc on peut seulement dire que si ces réels a, b et c existent ce sont ceux que l'on a trouvés et uniquement ceux là. Mais l'existence ne sera prouvée qu'après vérification c'est à dire après avoir calculé 1+2/(x-1)+1/(x-1)² avec x quelconque dans Df et vérifié que l'on obtient f(x).
Une remarque aussi, on peut trouver a en cherchant les limites en +inf des deux fonctions, on trouve a pour l'une et 1 pour l'autre.
Puis en prenant les valeurs 0 et 2 pour x on obtient des équations simples d' inconnues b et c (sans même avoir réduit au même dénominateur)
Pourx=0 , 1+b/(x-1)+c/(x-1)² vaut 1-b+c donc 1-b+c=0
Pour x=2, 1+b/(x-1)+c/(x-1)² vaut 1+b + c donc 1+b+c = 4
Par soustraction on trouve b=2 puis c=1 et ensuite on vérifie.
Juste une précision, dans la méthode 2 qui consiste à obtenir des équations en remplaçant x par des valeurs adéquates, il est impératif de vérifier l'égalité pour toute valeur de x de Df.
En effet dans ce cas on procède par implications et donc on peut seulement dire que si ces réels a, b et c existent ce sont ceux que l'on a trouvés et uniquement ceux là. Mais l'existence ne sera prouvée qu'après vérification c'est à dire après avoir calculé 1+2/(x-1)+1/(x-1)² avec x quelconque dans Df et vérifié que l'on obtient f(x).
Une remarque aussi, on peut trouver a en cherchant les limites en +inf des deux fonctions, on trouve a pour l'une et 1 pour l'autre.
Puis en prenant les valeurs 0 et 2 pour x on obtient des équations simples d' inconnues b et c (sans même avoir réduit au même dénominateur)
Pourx=0 , 1+b/(x-1)+c/(x-1)² vaut 1-b+c donc 1-b+c=0
Pour x=2, 1+b/(x-1)+c/(x-1)² vaut 1+b + c donc 1+b+c = 4
Par soustraction on trouve b=2 puis c=1 et ensuite on vérifie.
15 messages
- Page 1 sur 1
Qui est en ligne
Utilisateurs parcourant ce forum : Aucun utilisateur enregistré et 88 invités
Tu pars déja ?
Fais toi aider gratuitement sur Maths-forum !
Créé un compte en 1 minute et pose ta question dans le forum ;-)
Identification
Pas encore inscrit ?
Ou identifiez-vous :