Valeurs fonctions trigonométriques inverses

[sarah12345]

Bonjour à tous ! J'espère que vous allez bien ! (:

Lorsqu'on a à évaluer une limite de forme indéterminée, il faut d'abord déterminer sa forme (0/0, infini/infini, etc.). Mais lorsque la limite contient une fonction trigonométrique inverse (arctan(x), arcsin(x), etc.), comment déterminer sa forme sans calculatrice ?

Par exemple, comment savoir que arctan(0) = 0 ? Est-ce que arctan(x) = arcsin(x) / arccos(x) ? Est-ce valable pour arccot(x), arcsec(x), arccsc(x) ...? Existe-t-il une cercle trigonométrique « inverse » ?

Je demande parce qu'en examen, on n'a droit qu'à une feuille de notes, pas de calculatrice.

Merci par avance pour votre aide !!! (:

[Ben314]

Salut,
Bon, déjà, NON, arctan(x) n'est absolument pas du tout égal à arcsin(x)/arccos(x).
Ensuite, de la même façon que sur UN MÊME graphe, on peut parfaitement "lire" à la fois les valeurs d'une fonction f (dans le sens x donne y) ET AUSSI les valeurs de sa bijection réciproque (dans le sens y->x), modulo bien sûr que la fonction soit bijective (et si elle est pas bijective, tu lit tout aussi bien l'ensemble des antécédents d'un y donné).
Ne t'a on jamais montré que l'on peut parfaitement "lire" les valeurs de la fonction racine carrée sur le graphe de la fonction "au carré" ?

Ben pour les fonction trigo., c'est exactement la même chose : si tu sait "lire" les valeurs des fonction trigo. sur le cercle trigo. (avec les axes + la tangente en (x,y)=(1,0)), ben ça veut dire ue tu sait aussi lire les fonctions trigonométriques inverses sur ce même cercle trigo : il suffit de faire la lecture "dans l''autre sens".
La seule chose supplémentaire à savoir, c'est les domaine de définitions des fonctions en question :
- Par définition, l'arcsinus d'un réel entre -1 et 1, c'est l'angle entre -pi/2 et pi/2 qui a comme sinus le réel en question. Et il y a évidement d'autres angles qui donnent ce même sinus, mais un seul de ces angles est entre -pi/2 et pi/2.
- Idem pour l'arccosinus où, toujours par définition, l'arcosinus d'un réel entre -1 et 1, c'est l'unique angle angle entre 0 et pi qui a comme cosinus le réel en question.
- Idem pour l'arctangente où, par définition, l'arctangente d'un réel quelconque, c'est l'unique angle angle entre -pi/2 et pi/2 qui a comme tangente le réel en question.
Mais en fait, même ces intervalles qui sont des définitions (donc c'est comme ça et puis c'est tout), si on regarde le cercle trigo, c'est "que du bon sens" d'avoir choisi ceux là.

[sarah12345]

D'accord oui je vois ! Donc maintenant je sais comment trouver arcsin(x) et arccos(x) grâce au cercle trigonométrique. Mais maintenant pour trouver arctan(x), arcsec(x), etc. comment faire ???

[Black Jack]

Bonjour,

[Ben314]

Regarde le deuxième dessin sur l'article de wikipedia :
De façon classique", la tangente d'un angle alpha, ça se "lit" sur la droite d'équation x=1 (la droite du dessin) et la cotangente sur celle d'équation y=1 (la droite du dessin).
Concernant la secante, c'est à dire l'inverse du cosinus, tu peut regarder par exemple sur le dessin de bibmath pour voir où la lire.
En fait, pour les fonction tangente, cotangente et secante il y a d'autres façons de les lire sur le cercle trigo, en particulier en traçant la tangente au cercle passant par le point correspondant à l'angle qu'on s'est donné : tu peut regarder de nouveau sur Wikipédia, mais le dessin est petit touffu vu qu'il y a tout dessus. . .