Gustin7 a écrit:Non je n'ai toujours pas trouvé et oui je veux bien de ton aide
Ok, alors :
Tu as f(x) = x²/(x²-2x+1) et tu veux que f(x) puisse s'écrire sous la forme :
f(x)=a + b(x-1) + c/(x-1)².
Déjà, réduis
f(x) au même dénominateur pour y voir plus clair. Tu l'avais fait, c'était bien.
Ainsi, on trouve : a(x-1)²+b(x-1)+c/(x²-2x+1).
Tu vois apparaître dans f(x) et
f(x) une identité remarquable au dénominateur : (x-1)².
Ainsi, dans f(x) et
f(x), le dénominateur est le même. On s'intéresse donc uniquement au numérateur.
Il faut donc que le numérateur de f(x), c'est-à-dire x² soit égal au numérateur de f(x), c'est-à-dire a(x-1)²+b(x-1)+c
Par conséquent, il faut trouver (a, b, c)€ R (dans mes souvenirs) tels que :
a(x-1)²+b(x-1)+c = x².
Ici, tu as plusieurs méthodes possibles. Je vais essayer de les classer de la plus "basique" à la plus "rusée", même si toutes sont respectables.
- La première, c'est de développer. Je crois que tu as essayé de le faire en réduisant au même dénominateur. C'est une technique valable, qui donne :
a(x-1)² + b(x-1) + c = x²
a(x²-2x+1) + bx-b + c = x²
ax² - 2ax + a + bx - b + c = x²
Là, comme ton but est de trouver a b et c, essaie de mettre ton équation sous la forme "égale à 0", donc :
a
x² - 2a
x + a + b
x - b + c
- x² = 0
Et là, tu peux factoriser par x ou x² pour avoir une somme de produits qu'il sera facile d'annuler.
x²(a-1)
-x(2a-b) + a - b + c = 0
Avec ça, tu poses un système à 3 inconnus (dis moi si jamais tu n'as pas compris pourquoi) :
{a-1 = 0
{2a+b = 0
{a-b+c = 0
Qu'il est facile de résoudre :
{a=1
{b=2
{c=1
Voilà pour la méthode un peu "lourde", mais qui fonctionne.
- 2ème méthode proposée par Black Jack : les valeurs intelligentes.
C'est, en gros, la première méthode mais prise dans l'autre sens. En fait, il a cherché des valeurs de x précises, qui permettaient de simplifier l'équation et de trouver plus facilement a, b et c. Tandis que moi, dans la 1ère méthode, j'ai posé le système sans m'intéresser à la valeur de x. Je te laisse relire son message pour avoir plus de précisions, en espérant t'avoir apporté un éclairage nouveau.
- 3ème méthode : celle de Pisigma.
Je précise que les 2 premières techniques étaient valables dans tous les cas. Ici, c'est spécifique à f(x).
En effet, elle (il) a fait apparaître de nouvelles valeurs pour pouvoir factoriser et trouver facilement, MAIS sans changer l'expression. Je te renvoie à son joli message.
Juste pour tenter de te l'expliquer :
Tu es d'accord que x² - 0 = x² ?
Et tu es d'accord que 0 = -2x+1+2x-1? (je te laisse vérifier)
Donc, x²-2x+1+2x-1 = x².
Et ainsi, on peut factoriser et on retrouver la forme de
f(x). Où a = 1, b=2 et c=1.
Voilà! En espérant t'avoir aidé!