Le sac de bille magique

[Ereous]

Un magicien possède un sac de bille magique. ce sac contient exclusivement des billes en verre et des billes en terre cuite. comme ce sac est magique il y a un nombre infini de chacune des deux sortes de billes mais il y aura toujours autant de bille en terre que de billes en verre dans le sac. ce magicien propose dans une foire de gagner ce sac avec un petit jeu :
il propose de faire gagner le sac magique si la personne intéressée tire 10 bille en verre du sac. Pour cela le participant aura les yeux bandes. il devra décider de quand arrêter de jouer sans savoir la nature des billes qu'il a déjà tire du sac. il faut payer au magicien 10 euros pour chaque bille prise. la question est la suivante ... combien coûtera le sac de bille au participant si il veut être quasi sur de remporter le sac de bille. c est a dire d'avoir 10 billes de verre...

[lyceen95]

Quasi sûr .. je ne sais pas ce que ça veut dire.
Donc on va faire à l'envers.
25 billes. Et la probabilité d'avoir au moins 10 billes en tirant 25 billes, je décrète que c'est le seuil pour pouvoir parler de quasi-certitude.

[Ben314]

Salut,
Personnellement, ce que je trouve assez balèze, c'est ça :

. . . il y a un nombre infini de chacune des deux sortes de billes mais il y aura toujours autant de bille en terre que de billes en verre dans le sac.

La notion de "autant" appliquée à un concept purement théorique comme "l'infini", j'aimerais bien savoir quel sens Ereous peut bien lui donner . . .

[GaBuZoMeu]

Bonjour,

Je suis d'accord que l'habillage est très vaseux.
La question est en fait : combien d'épreuves de Bernoulli indépendantes de paramètre 1/2 faut-il faire pour être "quasi-sûr" d'avoir au moins 10 succès.
Quasi-sûr, qu'est-ce que ça veut dire ? En 32 essais, on a une chance sur cent d'échouer. En 38 essais, moins d'une chance sur 1000 ....

[Sylviel]

Et quel que soit le nombre de tirage il y a une probabilité non nulle de ne pas avoir eu les 10 billes.

Donc dis nous ce que tu appelles "quasi-sûr" (99% de chance, 99.99%, 99.9999999999% ?) et on pourras te dire combien il faut en tirer.

[Ereous]

En fait je ne sais pas j ai traduit cet énoncé de langlais et n étant pas du tout matheux je ne vois meme pas comment resoudre cette exercice je pense que l on attends une reponse du style " si on paye x dollar on aura tant de chances de gagner le sac" j ai bien compris que cetait des proba mais cela s"arrete la quelle serait la formule a appliquer pour avoir une relation entre l argent depense et le nombre de chance de gagner le sac?

[lyceen95]

Les formules sont un peu compliquées. Le chapitre qui traite de ça s'appelle généralement 'Loi Normale' (particulièrement quand on fait beaucoup de tirages, à partir de 30) ou encore quelque chose comme 'Epreuves de Bernoulli'. Tu peux donc faire des recherches à partir de ces mots-clés.

GBZM t'a donné quelques valeurs.
Il y a quelques cas particuliers qui sont faciles à calculer : si le joueur fait 19 essais.
Et un peu plus difficile (ou pas ...) : si le joueur fait 10 essais.
Bien sûr, dans ces 2 cas, on est très loin du 'quasi sûr' .

[Sylviel]

Il faudrait voir l'énoncé original.

Si la question est "how many marble shall we draw to be almost sure to earn the bag" alors la réponse est une infinité, car "almost-sure", dont la traduction française est "presque sûrement", a un sens très précis en mathématique .

Maintenant si tu veux connaitre, pour un nombre de tirages donnés, la probabilité d'avoir au moins 10 billes, il faut utiliser la loi Binomiale.
En effet, un loi binomiale de paramètres (n,p) représente le nombre de succès, lorsque l'on fait n essais indépendants, chacun ayant une chance p de réussir.
Ici tu as une chance sur deux de réussir, donc p = 1/2.
Si tu fais 32 essais, le nombre de billes en verre tirées, notons le N, suivra donc une loi Binomiale B(32,0.5).
Pour calculer P(N >=10) le plus simple (mais laborieux à la main) consiste à écrire
P(N >=10) = P(N=10) + P(N=11) + P(N=12)+...+P(N=32)
puis d'aller voir la formule de la loi binomiale pour remplacer P(N=n) par sa valeur.
Le mieux est de demander à un ordinateur de faire le calcul.

Néanmoins si tu veux simplement une approximation de la valeur, on peut approximer N par une loi normale,
ce qui permet d'avoir une idée de la proba cherchée "à la main" plus rapidement.

Mais pour te guider plus il faudrait savoir dans quel cadre / quel cours tu fais cet exercice.

[GaBuZoMeu]

Pour calculer P(N >=10) le plus simple (mais laborieux à la main) consiste à écrire
P(N >=10) = P(N=10) + P(N=11) + P(N=12)+...+P(N=32)

Ce que j'ai fait, c'est de demander gentiment à mon ordinateur la probabilité d'échec en faisant n tirages, qui est la somme des coefficients binomiaux C_n^k pour k allant de 0 à 9, diviisée par 2^n. Ça me semble (un peu) plus simple.

[GaBuZoMeu]

Un petit code python :

Code: Tout sélectionner

from math import *

def proba_echec(n) :
    defav = sum(comb(n,k) for k in range(10))
    return round(defav/2**n,5)

for n in range(30,45) :
    print("en {0} tirages : proba d'échec {1}".format(n,proba_echec(n)))

en 30 tirages : proba d'échec 0.02139
en 31 tirages : proba d'échec 0.01472
en 32 tirages : proba d'échec 0.01003
en 33 tirages : proba d'échec 0.00677
en 34 tirages : proba d'échec 0.00452
en 35 tirages : proba d'échec 0.00299
en 36 tirages : proba d'échec 0.00197
en 37 tirages : proba d'échec 0.00128
en 38 tirages : proba d'échec 0.00083
en 39 tirages : proba d'échec 0.00053
en 40 tirages : proba d'échec 0.00034
en 41 tirages : proba d'échec 0.00022
en 42 tirages : proba d'échec 0.00014
en 43 tirages : proba d'échec 9e-05
en 44 tirages : proba d'échec 5e-05

[Kekia]

Bonjour,
Juste pour amuser notre connaissance commune, les mêmes calculs en approximant par la loi normale en choisissant arbitrairement la borne à 9,5 puisqu'il faut choisir une valeur entre 9 et 10

Code: Tout sélectionner

from math import *
import scipy.stats as stats
import time

def proba_echec(n) :
    defav = stats.norm.cdf((9.5-n/2)/sqrt(n/4))
    return round(defav,5)
   
start = time.perf_counter()
for n in range(30,45) :
    print("en {0} tirages : proba d'échec {1}".format(n,proba_echec(n)))
end = time.perf_counter()
print("temps nécessaire de {0} avec la loi normale".format(end - start))


en 30 tirages : proba d'échec 0.0223
en 31 tirages : proba d'échec 0.01557
en 32 tirages : proba d'échec 0.01078
en 33 tirages : proba d'échec 0.0074
en 34 tirages : proba d'échec 0.00505
en 35 tirages : proba d'échec 0.00342
en 36 tirages : proba d'échec 0.0023
en 37 tirages : proba d'échec 0.00154
en 38 tirages : proba d'échec 0.00103
en 39 tirages : proba d'échec 0.00068
en 40 tirages : proba d'échec 0.00045
en 41 tirages : proba d'échec 0.0003
en 42 tirages : proba d'échec 0.00019
en 43 tirages : proba d'échec 0.00013
en 44 tirages : proba d'échec 8e-05
temps nécessaire de 0.0026730988174676895 avec la loi normale

Fun fact, avec la version de GaBuZoMeu
temps nécessaire de 0.00024370849132537842 avec la loi binomiale
Donc on a les valeurs exactes plus rapidement (certes car le complémentaire est sympa avec peu de valeurs mais quand même)

PS : je sors, je connais l’intérêt pédagogique d'enseigner qu'une loi binomiale peut être approchée par une loi normale, c'était pour le fun.

[Ereous]

Merci à tous