Exercice de Math Vecteurs et Equations

[Azerto]

Salut a tous!
Mon premier message sur ce forum, j'ai cet exercice a faire mais je ne comprend vraiment rien, merci par avance de votre aide!
(il s'agit ici d'un devoirs sur les vecteurs et les matrices)


Trouvez la distance la plus courte entre les points de ces lignes droites :

X + Y - Z = 1,
2X + Z = 3,

X = Y = Z - 1

[lyceen95]

L'énoncé est un peu brut.
Essaie de reformuler l'énoncé... Pour que ce soit bien clair, il faut 8 ou 10 lignes . Pas 4 lignes comme ici.
Vas-y. Réécris les informations dont on dispose. Puis dans un second temps, réécris la question.

La première étape, c'est de bien comprendre de quoi on parle. Ensuite, il faudra trouver quels calculs on doit faire, mais ça vient après.

[Azerto]

Désolé pour cela, donc, pour résumer, je suis étudiant dans une université Russe, et mon sujet est donc en
russe.



Cet exercice est indépendant du reste de la page, il n'est relié a rien.
La suite des exercices sont liés a la recherche d'aires de triangles de vecteurs et sur les calculs des coordonnées de vecteurs.

La traduction de l'exercice est : Trouvez la distance la plus courte entre les points des droites :

En anglais je sais que cela est : The shortest distance between skew lines mais en Français je ne sais pas du tout.

[lyceen95]

Oui, moi, j'avais compris.
Ce que je te proposais, c'est de réécrire l'énoncé avec tes mots :

On a une droite ...
On a une autre droite...
On cherche ...

Et il faut remplacer chaque ... par 1 ou 2 lignes d'explication.

[Azerto]

Je dirais alors;

on a un système de 2 équations a 3 inconnues (voir l'image) il y a donc une infinité de possibilités (si je ne me trompe pas)
On doit trouver la plus petite distance possible entre deux vecteurs de coordonnées x y et z tirés de ce système.

Si j'ai bien compris bien sur.

[mathelot]

Bonjour,
voici les étapes que j'ai suivies:

1) j'ai écrit les équations des deux droites (D) et (D') sous forme paramétrique:


où M et A sont des points de (D) et B,M' des points de (D')

2) en suite, j'ai calculé le carré de la distance de M à M', en fonction de t et t'
on trouve que ce carré est un polynôme de degré 2 des variables t et t'.

3) Pour chercher le minimum de cette distance, j'ai calculé ses dérivées partielles
par rapport à t et t'.

4) Puis j'ai annulé les dérivées partielles (recherche du minimum)
ce qui m'a donné un système linéaire d'inconnues t et t' , à deux inconnues et deux équations.

5) En résolvant le système, ça donne deux points, sur (D) et sur (D')
vérifiant :
pour tout M de (D) , pour tout M' de (D') :


NB: pour vérifier les (longs) calculs, on doit avoir que est orthogonal à et

[mathelot]

question (1):

[mathelot]

question (2)
calcul du carré de la distance de M à M':

[mathelot]

questions (3) et (4):

On dérive par rapport à t, puis par rapport à t', et on égalise les dérivées à 0:

[mathelot]

question (5):
on résout le système:

t=15/13 et t'=23/13

On a donc comme solutions:

pour (D)



pour (D')



la distance entre les droites vaut:

vérification des calculs:
est orthogonal à et

[mathelot]

Désolé pour cela, donc, pour résumer, je suis étudiant dans une université Russe, et mon sujet est donc en
russe.


.

décidement, le russe est à la mode sur maths-forum !

[Azerto]

Un immense merci a toi pour tes réponses détaillées et précises, je te souhaite une excellente soirée !