Logique et théorie des ensembles

[Mila1987]

Bonjour,
Malheureusement, j'ai la peine de démontrer cette ~ .
En plus, je n'ai pas bien compris ce que ça veut dire ~ ?

Soit A un ensemble et soit F(A, {0,1}) l'ensemble de fonctions de A dans l'ensemble à deux éléments {0,1}).
Montrez que F(A,{0,1}) ~ Ρ(A)

Merci pour tout les indices et aides

Mila

[Ben314]

Salut,
Si effectivement c'est un cours de math. que tu suis (et pas un cours d'alchimie . . . ), ben ça signifie que le fameux symbole ~ utilisé dans ton exercice, il a une définition qui est quelque part dans ton cours ou dans un exercice précédent.
Perso., mon petit doigt me souffle que ça pourrait bien signifier "est en bijection avec" que certains auteurs traduisent par le mot savant "équipotent".
Donc le but du jeu, c'est de montrer qu'il existe (donc de construire) une bijection entre l'ensemble des parties d'un ensemble A donné et l'ensemble des fonctions du même A dans le doubleton {0,1}.
Si tu voit pas bien le rapport, comme toujours, il faut commencer par un exemple simple, par exemple, si A={a,b}, il y a qui dans P(A) ? et dans F(A,{0,1}) ?

[Mila1987]

C'est tout à fait ça pour la définition, équipotente.
Le cours n'était pas encore en ligne.

Mais le A n'est pas défini, du coup je ne vois oas trop comment construire une bijection...

[GaBuZoMeu]

Bonsoir,

On te dit que A est un ensemble, et on te demande d'expliciter une bijection valable pour tout ensemble A.

Voyons, soit B une partie de A. Imagines-tu quelle fonction de A dans {0,1} on peut lui faire correspondre ? Décrire une fonction de A dans {0,1} c'est dire quels éléments de A s'envoient sur 1 (les autre s'envoyant sur 0).

[Mila1987]

Bonjour,

Alors, je pourrais simplement dire
f: x² si x est pair et x²+1 si x est impair?

Comment est-ce qu'on peut trouver simplement une fonction qui est bijenctive?

[GaBuZoMeu]

Désolé, mais ce que tu as écrit n'a absolument aucun sens !

Tu cherches à définir une bijection . Qu'est ce que ça veut dire ? Ça veut dire qu'à chaque partie tu dois associer une fonction de telle façon que, pour toute fonction il existe une et une seule partie telle que .

[tulipe]

Gabu Wow quelle pédagogie Je pense qu'avec cela elle ne comprendra pas mieux, bien au contraire.

[tournesol]

On a jamais demandé aux étudiant de ma génération d'intuiter les fonctions caractéristiques ...

[tournesol]

Par contre on pourrait se demander si les bijections , et sont les seules bijections canoniques de P(A) sur F(A,{0,1}) . Je n'ai aucune idée d'une démonstration mais je pense que c'est vrai .
Je ne sais pas si canonique admet une définition formalisée en langage mathématiques. En français : descriptible par un ensemble de règles qui s'appliquent dans toutes les cas (ici , tous les ensembles A ) .
Je n'ai pas réussi à tapper un phi minuscule , et je n'ai pas dit que l'ensemble de tous les ensembles était un ensemble .

[Ben314]

Le phi "usuel" (en tout cas pour moi) c'est \varphi.
Et sinon, non, il n'y a pas de définition canonique du mot "canonique" en math (i.e. qui s'applique à n'importe quoi). Et concernant les bijection de P(A) dans F(A,{0,1}), à mon sens, plutôt que de chercher celles qui sont "canonique", ça me semblerais plus naturel de chercher celles qui sont des morphismes d'algèbres sur F2, sauf que ça revient à chercher les automorphismes d'algèbre de P(A).

[tournesol]

Bonsoir Ben314
Merci pour "phi sur ce forum"
tu veux parler de l'algebre ( P(A), delta , inter , * ) avec B*0= vide et B*1=B , le corps étant Z/2Z ?

[tournesol]

Si A est fini , les singletons constituent une base de l'ev .On peut par exemple choisir qui permute les singletons . Pour tout avoir , on détermine les bases et on transforme une base fixée en une autre base . Mais quand l'ensemble est infini , les singletons ne constituent plus une base et dans ce cas je n'ai pas de piste ...sauf l'identité .

[Ben314]

Oui, c'est P(A) muni de la différence symétrique et de l'intersection qui est une algèbre sur Z/2Z (i.e. un anneau et un e.v. sur >Z/2Z avec compatibilité des multiplications interne et externe).

Sinon, un automorphisme d'algèbre (et pas uniquement d'e.v.) de p(A) envoie forcément les singletons sur des singletons : pourquoi ?

[tournesol]

Un tel automorphisme f est croissant pour l'inclusion (facile) .
Soit a dans A . On a f(vide)=vide (image du neutre additif)
Donc f({a}) non vide . Soit x dans f({a}) . Alors .
Donc . Or
Donc
Mais
Donc par injectivité de , .
Il est alors facile de montrer que pour toute partie B de A ,
Donc chaque automorphisme d'algèbre est caractérisé par un élément de S(A) .
Il y a un air de
le groupe des permutations de A opère ...simplement...transitivement ?? fidèlement ?? sur quoi ?? souvenirs, souvenirs mais je ne maitrise plus .