L1 Montrer qu'une suite est convergente

[Seth]

Bonjour à tous, c'est mon premier topic sur ce forum et j'espère y obtenir un peu d'aide. ^^'

Je dois montrer qu'une suite monotone dont une suite extraite converge est aussi convergente.

Je n'ai aucune autre information sur la suite donc j'imagine que ça ne doit être que de la logique.
Peut-être qu'il faut utiliser le fait que si une suite converge vers un réel l, alors toute suite extraite converge aussi vers ce même réel, mais je ne vois pas vraiment comment faire.
Pourriez-vous me donner un petit indice, juste pour m'aiguiller s'il-vous-plaît ?

[mathelot]

démo par l'absurde.

notation pour une suite extraite:
il existe une application i, injective de N dans N, i strictement croissante
la suite extraite de a pour terme général
ce qui revient à choisir une suite d'indices strictement croissante

[Seth]

Donc si j'ai bien compris je dois supposer que la suite diverge tout en ayant sa suite extraite qui converge ?

[mathelot]

oui, la suite étant croissante

[Seth]

:thinkhard:

[Seth]

Merci beaucoup pour votre aide, je m'y repenche dès que j'ai le temps

[mathelot]

on veut montrer que
convergente et croissante entrainent
convergente

on sait que , pour une suite croissante, converger est équivalent à être majorée.

convergente donc majorée


en déduire que est majorée (et donc convergente)

NB: on abandonne une démonstration par l'absurde

[Seth]

Si la suite extraite est majorée par un réel r, on ne peut pas en conclure que r sera aussi un majorant pour la suite entière non ?

Je ne sais pas si c'est valide, mais avec le théorème de Bolzano-Weierstrass qui dit que toute suite bornée admet une sous-suite convergente, on peut en déduire que la suite x_n est bornée. Et bornée + monotone ça donne convergente. Est-ce que ça marche ?

[mathelot]

re,

la suite extraite est convergente donc majorée
tel que
pour tout k,

soit n un entier quelconque
comme i(k) tend vers l'infini avec k


étant croissante


donc ) est majorée par M
étant croissante, elle est convergente

[Seth]

D'accord merci beaucoup pour votre aide !
Et ce que j'ai dit ne convient pas du coup ?

[mathelot]

toute suite bornée admet une sous-suite convergente

la réciproque est fausse.
Une suite peut admettre une suite extraite convergente et ne pas avoir de limite:

exemple La suite x définie par x(2n)=1/n et x(2n+1)=n

[Seth]

Merci (: