Probleme exercice

[nac88]

bonjour,j'au un probleme avec un exercice:
on a ressort vertical relié a une masse M ,
X(t)=E1 e^(z1*t) +E2 e^(z2*t)
avec z1 et z2 les solutions de l'equation r²+2lambda *r+Wo²=0
où delta<0 et l'on doit montrer que l'on peut le mettre sous la forme:
X(t)=T * e^(-lambda*t) cos(rac( lambda²-Wo²)*t)+ phi)
pouvez vous m'aider? merci d'avance

[flaja]

bonsoir,
1) il faut calculer z1 et z2
elles se mettent sous la forme : z1 = a + ib et z2 = a - ib
2) en utilisant la relation : exp(z1 t) = exp(at) (cos(bt) + isin(bt))
on devrait arriver à la forme demandée.

[nac88]

bonjour, je trouve z1=-lambda-i rac(lambda²-Wo²)
et z2=-lambda+i rac(lambda²-Wo²)

donc on remplace dans l'expression :
X(t)=E1 exp((-lambda-i rac(lambda²-Wo²))t)+
E2 exp(((-lambda+i rac(lambda²-Wo²))t)

X(t)=exp(-lambda*t)(E1exp(-i rac(lambda²-wo²)t) +
E2exp(i rac(lambda²-Wo²)t)

X(t)=exp(-lambda*t) (E1 (cos (rac(lambda²-wo²)t -i sin(rac(lambda²-Wo²)t +
E2(cos(rac(lambda²-Wo²)t+i sin(rac(lambda²-Wo²)t)

apres je suis bloquée ,j'arrive pas a obtenir la forme demandé

[flaja]

1) Il faut prendre E1 = E2 afin d'éliminer les parties imaginaires i sin( )
X(t)=exp(-lambda*t) 2E1 cos (rac(lambda²-wo²)t)
Il n'y a pas de phi, mais cela ne dépend que de l'origine du temps.

[nac88]

merci pour l'aide ! j'aurai une autre question on me demande d'exprimer T et phi en fonction de E1 et E2 , pour T c'est T=2E1 mais pour phi je sais pas quoi repondre

[flaja]

Les valeurs de phi et T sont déterminées par les 2 conditions initiales :
position (X0) et vitesse (V0) de M à t=0

[nac88]

merci pour l'aide! je voudrai savoir pourquoi on peut considerer E1=E2 ,d'ou ça vient,merci d'avance

[flaja]

comme les Conditions Initiales X(0) et U(0) sont réelles, on a E1=E2.

La solution complexe résoud l'équation dans le corps des complexes.
Elle doit donc subir une restriction pour fournir des solutions réelles.

[nac88]

encore merci pour l'aide ! :we: