Forme quadratique à transformer en matrice:

[Cambacérès]

Chers amis,
J'ai une forme quadratique que je dois transformer en matrice:
"Soit b appartenant à R. Soit q une forme quadratique sur R3 définie par:
q(x1,x2,x3)=15(x1)^2 + 20(x1)(x2) +15(x2)^2+b(x3)^2

a)Trouver la matrice symétrique B associée à q

Par la vieille technique des croisements de x et de y j'ai trouvé

(15 10 0)
(10 15 0)
(0 0 b)

b) Étudier la nature de q suivant les différentes valeurs de b

J'ai pensé qu'on songeait ici au critère de Sylvester.
Je ne sais pas si c'est suffisant pour déterminer la nature mais voilà ce que j'ai fait.

Comme le critère de Sylvester nous invite à calculer les déterminants successifs (d'une matrice 1×1 puis 2×2 puis 3×3 en partant d'"en haut à gauche" de notre matrice 3×3) et nous donne:
-Si tous les déterminants sont positifs (supérieurs ou égaux à 0) la forme quadratique est positive
-Si le déterminant Delta 1 et le déterminant Delta 3, bref les Deltas impairs, sont négatifs (inférieurs à 0) , la forme quadratique est négative.
Si aucune de ces conditions n'est remplie, notre petite forme quadratique change de signe.

J'ai du coup fait le calcul des déterminants successifs :
Delta 1=15 bref positif
Delta 2=15×15-10×10=125 bref positif
Delta 3=125 b
Bref. Si b<0 la forme quadratique change de signe. Si
b>0 la forme quadratique est positive.

c) Pour quelle valeur de b, la matrice B est elle inversible

Si le déterminant d'une matrice =0, la matrice n'est pas inversible. Sinon, elle est inversible.
Donc pour tout b appartenant à R différent de 0, la matrice B est inversible

Qu'en pensez vous(?)

Amicalement,

[GaBuZoMeu]

Bonjour,

Ce n'est pas une forme quadratique. Vérifie ton énoncé.

[Cambacérès]

Merci beaucoup pour cette réponse cher GaBuZoMeu,
Pour l'énoncé c'est marqué :
"Soit b appartenant à R. Soit q une forme quadratique sur R3 définie par:
q(x1,x2,x3)=15(x1)^2 + 20(x1)(x2) +15(x2)^2+b(x2)^3"
Peux tu m'éclairer, mon niveau est limité et je crois que je ne saisis pas
Amicalement

[Cambacérès]

Je viens de voir que j'avais fait une faute de frappe. C'est bien "15(x1)^2"
Un malheureux signe + s'était glissé
Est ce ça cher GaBuZoMeu(?)
Amicalement

[Cambacérès]

Et si oui, est ce que le reste va(?) La matrice associée est bien(?)
(15 10 0)
(10 15 0)
( 0 0 0)
Amicalement

[GaBuZoMeu]

Je répète que ce n'est pas une forme quadratique : le n'est pas du second degré !

[Cambacérès]

Merci de tout cœur cher GaBuZoMeu, j'ai en effet écrit par inadvertance x2^3 là ou j'aurais du écrire x3^2.
Je suis absolument désolé, c'était une erreur lourde.
Sur le reste, qu'en pensez vous cher GaBuZoMeu (?)
Amicalement

[GaBuZoMeu]

Quelle est la signature de en fonction de ?

[Cambacérès]

Que veut dire la signature cher GaBuZoMeu(?)
Ais je oublié quelque chose(?)
Amicalement

[Cambacérès]

Est ce que ça a trait au Sylvester du coup(?)

[GaBuZoMeu]

Tu parles de formes quadratiques et de Sylvester. Je pensais que tu connaissais le théorème d'inertie de Sylvester. https://fr.wikipedia.org/wiki/Loi_d%27inertie_de_Sylvester

[Cambacérès]

Aie aie aie si seulement.
Merci de tout coeur pour le lien cher GaBuZoMeu!
Faut il du coup rajouter quelque chose en plus dans la rédaction (?)
Est ce que la matrice symétrique associée à la forme quadratique est correcte au fait(?)
Et sinon y a t'il des fautes de logique/de rigueur (?)
Amicalement

[GaBuZoMeu]

Une fois l'énoncé correct connu, je ne vois pas de faute.
Je ne sais pas ce qui est attendu comme réponse à la question sur la nature de la forme quadratique. Pour moi, il serait naturel de parler de sa signature, qui est l'invariant qui permet de classifier les formes quadratiques réelles.
Si tu disais quel cursus tu suis, j'y verrais plus clair. Tu parles de choses assez spéciales (comme le critère de Sylvester sur les déterminants des mineurs principaux) et tu sembles en même temps avoir de gros trous. Par exemple, connais-tu la décomposition en carrés de Gauss ? Si oui c'est vraiment étonnant que tu ne connaisses pas la signature. Et sinon, c'est vraiment étonnant que tu fasses des exercices sur les formes quadratiques. Bref, tu es un peu un mystère pour moi.

[Cambacérès]

Merci de tout coeur pour cette réponse cher GaBuZoMeu,
Pour tenter d'éclaircir l'épais mystère dont je suis nimbé, je suis étudiant en ECG dans une grosse prépa parisienne.
Amicalement

[GaBuZoMeu]

D'accord, merci.