Simplification d'une factorielle

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Cambacérès
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Simplification d'une factorielle

par Cambacérès » 30 Sep 2021, 13:03

Bonjour à tous chers amis,
J'ai l'élément suivant au dénominateur dans le problème suivant:
Soit a un réel non nul. On considère la série de terme général Un=

( a^n×n^n ) / n!

On pose 3 questions
a)On pose a=1. Étudier alors la convergence de ka série de terme général Un
b)Soit a>1. Étudier alors la convergence de la série de terme général Un
c)Montrer que la série de terme général Un converge pour |a|<1/e1

Pour traiter le a), je voulais rappeler la règle :
Si lim n tendant vers l'infini Un+1/Un <1 avec Un>0
alors la somme des Un converge
Si lim n tendant vers l'infini Un+1/Un >1 avec Un>0
alors la somme des Un converge
Du coup on cacule Un+1/Un
Ça nous donne:
(a^(n+1) × (n+1)^(n+1) / (n+1)!)
× (n!)/ (a^n × n^n)
Et c'est là que j'ai un problème.
Ça a l'air de se simplifier bien, mais comme j'ai n!
au dénominateur et (n+1)! au dénominateur, je sens qu'on pourrait exprimer (n+1!) en fonction de (n)! mais je ne vois pas comment et avec quelle méthode
Amicalement



phyelec
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Re: Simplification d'une factorielle

par phyelec » 30 Sep 2021, 13:17

Bonjour,

pour le 1) a=1, faites déjà le calcul dans ce cas puis passez à la limite

Cambacérès
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Re: Simplification d'une factorielle

par Cambacérès » 30 Sep 2021, 13:22

Merci beaucoup pour cette explication,
Oui bien sûr. Pour a=1,
on a Un=( 1 × n^n ) / n!
Donc on a n^n/ n! mais là aussi je ne suis pas sûr de comment se débarrasser de la factorielle au dénominateur.
Amicalement

phyelec
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Re: Simplification d'une factorielle

par phyelec » 30 Sep 2021, 14:26

Un vaut bien ce que vous avez trouvez pour a=1 et bien maintenant calculez Un+1/Un, posez le calcul, vous verrez

Cambacérès
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Re: Simplification d'une factorielle

par Cambacérès » 30 Sep 2021, 14:40

Je pose Un+1/ Un
Au numérateur j'ai a^(n+1) × (n+1)^(n+1) × n!
Au dénominateur j'ai (n+1)! × a^n × n^n
Je réécris mon numérateur :
J'ai a^n × a × (n+1)^n × (n+1) × n!
On a de la chance. Le a^n au numérateur annule le a^n au dénominateur.
On a du coup
a× (n+1) × (n+1)^n × n! au numérateur et
(n+1)! × n^n au dénominateur
Je suis sûr qu'il y a quelque chose à faire sur (n+1) et la factorielle n!
au numérateur et la factorielle (n+1!) au dénominateur.
Ce qu'il faudrait c'est exprimer (n+1!) en fonction de n! et de (n+1)
Amicalement

phyelec
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Re: Simplification d'une factorielle

par phyelec » 30 Sep 2021, 16:38

regarder la définition de n! (c'est du cours)
n!=.......

puis idem pour (n+1)!=......

Cambacérès
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Re: Simplification d'une factorielle

par Cambacérès » 30 Sep 2021, 16:57

J'ai trouvé la définition "récursive" de la factorielle :
(n+1)! = n! × (n+1)
Bon du coup tout devient clair
on a a× (n+1) × (n+1)^n × n! au numérateur et
(n)! ×(n+1) × n^n au dénominateur
Les (n+1) s'annulent
Les n! s'annulent
On se retrouve avec un:
a × (n+1)^n au numérateur
et un n^n au dénominateur
On a alors
a× n^× (1 + 1/n )^n au numérateur
et n^ n au dénominateur
(Je ne suis pas trop sûr de mon coup, n^n/n c'est bien 1 du coup ?)
On simplifie les n^n
On a alors a × n^n × (1 + 1/n) ^n
Et là ce résultat je sens qu'il faudrait l'exprimer autrement mais je ne vois pas comment
Amicalement

phyelec
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Re: Simplification d'une factorielle

par phyelec » 30 Sep 2021, 17:21

jusque là oui :
On se retrouve avec un:
a × (n+1)^n au numérateur
et un n^n au dénominateur

après vous vous trompez dans ce vous appelez "simplification" . Voici un exemple pour vous aider :

Cambacérès
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Re: Simplification d'une factorielle

par Cambacérès » 30 Sep 2021, 17:33

Merci beaucoup pour ces explications
On se retrouve avec une fraction (n+1)/n élevée à la puissance n
et multipliée au numérateur par a.
La question qui se pose c'est comment exprimer (n+1)^n en fonction de n^n.
Je crois que l'idée c'est d'aboutir à une expression du genre
a× exponentielle ^(n× ln(1+1/n)
de façon à l'utiliser dans nos histoires de convergence
Amicalement

phyelec
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Re: Simplification d'une factorielle

par phyelec » 30 Sep 2021, 17:58

pour l'instant c'est exacte. Pour passer à la convergence, il faut passer à limite. Indice pensez au DL de ln(1+x) quand x tend vers 0.

Cambacérès
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Re: Simplification d'une factorielle

par Cambacérès » 30 Sep 2021, 18:38

Merci beaucoup pour cette explication
Le développement limité de ln(1+x) en 0 c'est quelque chose comme
x-x^2/2+x^3/3+ -1^(n-1) × x^n/n mais je ne suis pas sûr de comment l'utiliser dans notre histoire de convergence
Du coup dire que (n+1)^n c'est égal à n^n (1+1/n) c'est bien correct(?)
Amicalement

phyelec
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Re: Simplification d'une factorielle

par phyelec » 30 Sep 2021, 18:58

Code: Tout sélectionner
Le développement limité de ln(1+x) en 0 c'est quelque chose comme
x-x^2/2+x^3/3+ -1^(n-1) × x^n/n mais je ne suis pas sûr de comment l'utiliser dans notre histoire de convergence


évitez les "c'est quelque chose comme" le DL est dans le cours, en plus vous vous trompez en partie c'est quoi ces termes "1^(n-1) × x^n/n "?
Pour votre exercice le premier ordre suffira.

Du coup dire que (n+1)^n c'est égal à n^n (1+1/n) c'est bien correct(?)
: non c'est faux

vous avez trouvez e^(n× ln(1+1/n), cela est correcte. maintenant il faut calculer la limite quand n tend vers l'infini de e^(n× ln(1+1/n).

Question : que vaut 1/n quand n tend vers l'infini.

Black Jack

Re: Simplification d'une factorielle

par Black Jack » 30 Sep 2021, 19:10

Bonjour,

U(n) = ( a^n×n^n ) / n!

U(n+1) = ( a^(n+1) × (n+1)^(n+1) ) / (n+1)!
U(n+1) = ( a^(n+1) × (n+1)*(n+1)^n ) /((n+1)*n!)
U(n+1) = ( a^(n+1) × (n+1)^n ) / n!

U(n+1)/U(n) = ( a^(n+1) × (n+1)^n )/( a^n×n^n )
U(n+1)/U(n) = a * ((n+1)/n)^n

Or lim(n-->+oo) [((n+1)/n)^n] = e

Et donc : lim(n--> +oo) [U(n+1)/U(n)] = a * e

...

8-)

Cambacérès
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Re: Simplification d'une factorielle

par Cambacérès » 30 Sep 2021, 19:29

Merci beaucoup pour ces explications limpides!
C'est effectivement plus clair maintenant:)

Cambacérès
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Re: Simplification d'une factorielle

par Cambacérès » 30 Sep 2021, 21:50

Merci encore une fois de tout coeur chers Phyelec et Blackjack!
Comme j'ai trois questions dans l'exercice, j'ai essayé de les traiter
a)On pose a=1. Étudier alors la convergence de la série de terme général Un
b)Soit a>1. Étudier alors la convergence de la série de terme général Un
c)Montrer que la série de terme général Un converge pour |a|<1/e

Pour a), on a montré que Un+1/Un=a×e
Donc pour a=1, avec e>1, la série diverge.
b) lim Un+1/Un=ae>1
Pour a>1 la série diverge
c)
Pour |a|<1/e
On devrait avoir un EDN>0 mais je ne suis pas sûr de ma démonstration...
On a toujours
lim Un+1/Un =ae or ici ae<1
Du coup lim Un+1/Un<1 la série converge.
Bref, pour |a|<1/e, la série converge.
Est ce que ça va comme raisonnement du coup et comment peut on déterminer à coup sûr l'EDN(?)

phyelec
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Re: Simplification d'une factorielle

par phyelec » 30 Sep 2021, 23:58

cela est correcte. N'oubliez pas de préciser que vous utilisez le critère de D’Alembert.

Puis-je vous demander ? avez compris pourquoi lim(n-->+oo) [((n+1)/n)^n] = e ? Ce résultat est un résultat de cours,mais il peut être intéressant pour vous de savoir comment on le trouve.

Cambacérès
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Re: Simplification d'une factorielle

par Cambacérès » 01 Oct 2021, 00:51

Merci beaucoup cher Phyelec!
Pour lim(n-->+oo) [((n+1)/n)^n] = e effectivement c'est un résultat vu en cours mais je serais intéressé de savoir comment on le trouve;)
Amicalement;)

 

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