Déterminer un noyau Ker, sa base et sa dimension

[phyelec]

il y a de l'idée dans ce que vous écrivez mais ce n'est pas exacte :

-R2 est un espace de dimension 2, ces éléments sont de la forme v=(x,y) , base formée par 2 vecteurs u(x1,y1) et v(x2,y2) linéairement indépendants(=libres)
-R3 est un espace de dimension 3, ces éléments sont de la forme v=(x,y,z) base formée par 3 vecteurs u(x1,y1,z1) et v(x2,y2,z2) ,w(x3,y3,z3)linéairement indépendants(=libres)
etc..

[Cambacérès]

Merci beaucoup pour cette explication !
Du coup quand on a trois éléments dans 2 vecteurs ou deux éléments dans 3 vecteurs on a respectivement une application de R3 dans R2 et de R2 dans R3(?)
Dit autrement le nombre d'éléments (x,y,z...) nous donne l'ensemble depuis lequel "part" l'application et le nombre de vecteurs l'ensemble dans lequel "arrive" l'application (?)
Amicalement

[phyelec]

Ce n'est pas très bien exprimé mais je pense que vous avez compris.
Si on revient à votre exercice f : R4 -->R3
f(u)=f(x,y,z,t)=(x-y+z, 2x-y+3t, -2x+2y-2z)

[Cambacérès]

Merci de tout cœur pour cette explication limpide!
Oui dans l'exercice on a bien 4 éléments et 3 vecteurs d'où application de R4 dans R3!
Amicalement:)

[phyelec]

dans l'exercice on a bien chaque vecteur de départ avec 4 coordonnées et chaque vecteur d'arrivé à avec 3 coordonnées.

[Cambacérès]

Merci beaucoup pour cette explication !
Du coup l'important c'est le nombre de coordonnées et pas le nombre de vecteurs(?)
En fait est ce que le nombre de vecteurs est une d'une utilité pour nous(?)
Amicalement

[phyelec]

quand vous dites "Du coup l'important c'est le nombre de coordonnées et pas le nombre de vecteurs(?)" mais l'important pour répondre à quelle question?
Le nombre de coordonnée d'un vecteur va vous dire de quelle dimension est l'espace vectoriel auquel il appartient.
Dans un espace vectoriel de dimension n,une base a n vecteurs.
un espace vectoriel est un ensemble d'objets, appelés vecteurs.

[Cambacérès]

Merci pour cette explication
Si on a une base d'un ensemble mettons R5 qui comporte 3 vecteurs de 4 coordonnées/éléments chacuns, du coup on peut dire (?)
-l'espace vectoriel est R5
-la base est R3(3 vecteurs)
-les vecteurs de la base sont de dimension 4 (4 coordonnées)
Amicalement

[Cambacérès]

Et du coup est ce qu'on aura une application de R5 dans R3, de R4 dans R3 ou de R3 dans R4(?)

[phyelec]

votre question 1

Si on a une base d'un ensemble mettons R5 qui comporte 3 vecteurs de 4 coordonnées/éléments chacuns, du coup on peut dire (?)

les éléments de R5 comportent obligatoirement des vecteurs de 5 coordonnées sinon ils n'appartiennent pas à R5
"une base d'ensemble" ne veut rien dire. Une base dans R5 comporte 5 vecteurs ayant chacun 5 coordonnées et formant une famille libre.
Ne confondez pas coordonnées et éléments, v(x,y,z,t,u) est un élément de R5 (appelé vecteur car R5 est un espace vectoriel) de coordonnées x,y,z,t,u.

Votre question 2

Et du coup est ce qu'on aura une application de R5 dans R3, de R4 dans R3 ou de R3 dans R4(?)

On pourrait, il suffit de la définir.

[Cambacérès]

Merci beaucoup pour cette réponse
Du coup R5 comporte nécessairement n compris entre 1 et +infini d'éléments/vecteurs composés de 5 coordonnées précisément.
Sa base comporte elle exactement 5 vecteurs de 5 coordonnées sans quoi elle n'est pas une base
On pourrait avoir une application de R5 aussi bien dans R6 que dans R4, c'est à dire dans un ensemble "supérieur"ou "inférieur" à l'ensemble d'origine(?)
Amicalement

[phyelec]

Oui,

une coquille pour R5: une (et non "sa" car R5 a plusieurs bases) base comporte exactement 5 vecteurs libres....

[Cambacérès]

Merci beaucoup pour cette explication.
Pour Dim Ker(f) par contre la dimension est déterminée par le nombre d'éléments/vecteurs et non par le nombre de coordonnées de ces vecteurs d'après notre exemple :
Dans l'exercice on avait Ker(f)={(1,0,-1,-2/3),(0,1,1,1/3)}
comme le système apparaît (?) libre et qu'il est censé être générateur, on en déduisait que Dim Ker(f)=2 alors même que s'il y a bien 2 vecteurs ceux-ci ont 3 coordonnées (?)
Amicalement

[Cambacérès]

Autrement dit
-la Dimension d'un ensemble est égal au nombre de coordonnées de ses vecteurs mais n'a aucun rapport avec le nombre d'éléments/vecteurs
-une base de cet ensemble a obligatoirement un nombre d'éléments/vecteurs et de coordonnées de ces vecteurs égale à sa dimension
-par contre la Dimension d'un noyau Ker et d'une de ses bases est égale au nombre des éléments/vecteurs et pas au nombre des coordonnées (?)

[phyelec]

Kerf est un sous-espace vectoriel de R4, Dimkerf=2 donc une base de kerf comporte 2 vecteurs de kerf libres.Les vecteurs de kerf comportent 4 coordonnées (regardez les vecteurs que vous avez trouvé).

[Cambacérès]

Merci pour cette explication,
Mais du coup comment sait on que DimKer(f)=2
Je pensais que c'était parce que Ker(f) avait 2 vecteurs que DimKer(f)=2 et pas l'inverse.
Est ce que ça veut dire que dans R4, Dim Ker est toujours égal à la moitié, c'est à dire 2, et Dim(f) égal à l'autre moitié c'est à dire 2 aussi.
Mais dans ce cas là comment faire avec R "impair", R3, R5 ou R7 par exemple (?)
Amicalement

[phyelec]

En ce moment je réponds pour votre exercice ,vous avez trouvé une base de kerf comportant 2 vecteurs libres,le nombre de vecteurs d'une base d'un espace vectoriel correspond à sa dimension.

En générale : "Est ce que ça veut dire que dans R4, Dim Ker est toujours égal à la moitié, c'est à dire 2, et Dim(f) égal à l'autre moitié c'est à dire 2 aussi." : est faut.

[Cambacérès]

Merci beaucoup pour cette explication,
Mais du coup par quelle magie connaît on Dim Ker f et Dim f(R) quand on a R2,R3,R4,R5. On est obligé de compter le nombre de vecteurs de Ker f pour trouver la dimension ou il y a une autre méthode (?)
Amicalement

[Cambacérès]

En fait, y a t'il une autre méthode de détermination de Dim Ker(f)

[phyelec]

oui, il n'y a pas d'autre méthode que de compter le nombre de vecteur d'une base de kerf ou d'utiliser le théorème du rang (selon les informations dont on dispose).