Dérivée de arctan.
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catamat
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par catamat » 27 Sep 2021, 19:43
Bonjour
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Black Jack
par Black Jack » 27 Sep 2021, 20:29
Bonjour,
Une possibilité (parmi d'autres)
Soit g(x) = arctan(x) (pour g(x) dans ]-Pi/2 ; Pi/2[)
---> tan(g(x)) = x
On dérive : (tan(g(x)))' = (x)'
g'(x)/cos²(g(x)) = 1
g'(x) = cos²(g(x)) (1)
***
sin²(g(x)) + cos²(g(x)) = 1
et comme cos(g(x)) différent de 0 sur ]-Pi/2 ; Pi/2[, on peut diviser les 2 membres par cos²(g(x))
--> tan²(g(x)) + 1 = 1/cos²(g(x)) (2)
mais on a tan(g(x)) = x et donc (2) ---> x² + 1 = 1/cos²(g(x))
cos²(g(x)) = 1/(x²+1)
et ceci remis dans (1) --->
g'(x) = 1/(1+x²)
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mathelot
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par mathelot » 27 Sep 2021, 21:45
Bonsoir,
on a
pour calculer la dérivée de la fonction tangente , on utilise la formule:
d'où
pour x réel:
en dérivant:
soit
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mathelot
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par mathelot » 01 Oct 2021, 11:01
lazare a écrit: mathelot a écrit:pour x réel:
en dérivant:
C'est en référence à quelle identité remarquable?
C'est l'application de la formule de la dérivée d'une composée de deux fonctions dérivables
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catamat
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par catamat » 01 Oct 2021, 13:52
lazare a écrit:Je vois pas.
Soit f=tan bijective de ]-pi/2;pi/2[ sur R sa fonction réciproque est arctan définie de R sur ]-pi/2;pi/2[
On a donc
pour tout réel x
De plus f'=1+tan² (démontré plus haut)
Nb: Cette formule peut servir pour bien d'autres fonctions, elle est à connaître.
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Black Jack
par Black Jack » 01 Oct 2021, 14:37
lazare a écrit: Black Jack a écrit:On dérive : (tan(g(x)))' = (x)'
g'(x)/cos²(g(x)) = 1
C'est en référence à quelle identité remarquable?
mathelot a écrit:pour x réel:
en dérivant:
C'est en référence à quelle identité remarquable?
Pour la 1ère :
la dérivée de tan(x) est 1/cos²(x)
la dérivée de tan(g(x) ) est 1/cos²(g(x)) * g'(x)
et la dérivée de x est 1
donc en dérivant
... on trouve : 1/cos²(g(x)) * g'(x) = 1
soit g'(x)/cos²(g(x)) = 1
**************************
Pour la 2ème :
La dérivée de f(x) = tan(x) est f'(x) = 1/cos²(x) = 1 + tan²(x)
La dérivée de f(u(x)) = tan(u(x)) est (1 + tan²(u(x)) * u'(x)
et avec u(x) = arctan(x), on a donc la dérivée = (1 + tan²(arctan(x)) * [arctan(x)]'
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Black Jack
par Black Jack » 02 Oct 2021, 09:01
lazare a écrit: mathelot a écrit:C'est l'application de la formule de la dérivée d'une composée de deux fonctions dérivables
La dérivée de u(v) ?
Je la trouve pas sur internet.
Bonjour,
C'est élémentaire et niveau du secondaire.
Soit u et v 2 fonctions de x et dérivables.
f(x) = u(v(x))
f'(x) = u'(v(x)) * v'(x)
*****
exemple :
v(x) = tan(x) et u(x) = 3x²
f(x) = u(v(x))
f(x) = 3*tan²(x)
v'(x) = 1/cos²(x)
u'(x) = 6x
u'(v(x)) = 6.tan(x)
f'(x) = u'(v(x)) * v'(x)
f'(x) = 6.tan(x)/cos²(x)
f'(x) = 6.sin(x)/cos³(x)
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