Récurrence
Réponses à toutes vos questions de la 2nde à la Terminale toutes séries
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tetilyeki
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par tetilyeki » 26 Sep 2021, 10:21
Bonjour,
J'aurais besoin de votre aide pour un DM.
La suite(un) définie par u0=1 et pour tout entier naturel n, un+1 = 2un −n +1.
Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel n, un >= n.
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catamat
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par catamat » 26 Sep 2021, 13:03
Bonjour
Pour l'hérédité, on suppose que ,pour une valeur de n, on a
Il faut démontrer que
Pour commencer que peut-on dire de
?
je te laisse continuer...
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tetilyeki
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par tetilyeki » 26 Sep 2021, 13:36
Bonjour,
Comme cela ?
• Initialisation n=0 :
D’une part :
U0=1
D’autre part :
U1 = 2U0 – 0 + 1
U1 = 2 * 1 – 0 + 1
U1 = 2 + 1
U1 = 3
Donc U1>=0 et la proposition est vraie au rang initial.
• Hérédité :
On suppose que la proposition est vraie pour un entier naturel n quelconque fixé, c’est-à-dire Un>=n.
On cherche à montrer qu’alors elle est aussi vraie au rang n+1, c’est-à-dire Un+1>=n+1.
| énoncé :
| Un+1 = 2Un − n +1
| Un+2 = 2(Un+1) − n +2
D’après l’hypothèse de récurrence, Un>=n
<=>2Un >= 2n
<=>2Un – n+1 >= 2n – n+1
<=>Un+1 >= n+1
La proposition est donc aussi vraie au rang n+1.
• Conclusion :
On a montré par récurrence que pour tout entier naturel n quelconque : Un >= n c’est-à-dire que la suite (Un) est croissante ou nul.
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catamat
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par catamat » 26 Sep 2021, 14:03
Oui c'est bien pour l'hérédité mais pour l'initialisation il suffit d'écrire que U0 >=0 puisque U0=1
U1 n'a pas à être calculé, la plus petite valeur de n étant 0.
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catamat
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par catamat » 26 Sep 2021, 14:05
Euh je n'avais pas lu la conclusion...
Ce que l'on a démontré n'a pas de rapport avec le sens de variation de Un.
Cela va sans doute servir pour la limite de Un.
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tetilyeki
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par tetilyeki » 26 Sep 2021, 14:10
catamat a écrit:Euh je n'avais pas lu la conclusion...
Ce que l'on a démontré n'a pas de rapport avec le sens de variation de Un.
Cela va sans doute servir pour la limite de Un.
Très bien merci beaucoup de votre aide !
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