Routage météo pour voilier / optimisation de deux variables

[JeanLouis69]

Bonjour !

Voilà une semaine que je ne me sors pas de ce problème en apparence assez simple

Les données : selon son angle par rapport au vent, un voilier avance à une certaine vitesse donnée par le constructeur : https://www.bateaux.com/article/30727/p ... tesse-8201 Plus il se rapproche de l'angle 0, plus sa vitesse chute. La progression angle / vitesse n'est pas pour autant linéaire. Il est plus ou moins possible de la modéliser par un polynome grace à Lagrange, avec des résultats corrects des fois, pas corrects du tout d'autre fois (je suis monté jusqu'au 20ème degré). Considérons donc que nous ne pouvons PAS la modéliser, et on se contentera d'une fonction polaire(x) = vitesse pour angle x

Le problème : Je me limite dans tous mes calculs à une certaine vitesse de vent, je la suppose constante. Supposons que le vent vienne de plein nord (0° azmiut), et que je veuille aller du point A(2,0) au point B(10,-18). Je peux le faire en ligne droite, le temps sera donc t = d/v = AB/polaire(AB). Mais il existe un chemin plus long en distance mais plus rapide en temps tel que t = AC/polaire(AC) + CB/polaire(CB). Je cherche à déterminer, pour chaque angle AB, le couple [AC,CB] tel que le trajet A-C-B sera le plus court possible, en temps. Il me parait évident qu'il n'en existe qu'un seul par angle AB

Je pose donc les choses comme ça :

Je note :
- v(x) le vecteur qui dans un repère polaire, a r=90-x (conversion degrés -> azimuts) et d=polaire(x)
-polaire(x), la vitesse du bateau à l'angle x, selon par exemple les polaires fournies dans l'URL au dessus

Je modélise comme ceci :

et par extension :


La formule se vérifie géométriquement, elle est correcte.

Mais je suis toujours bien loin de mon idée de départ, à savoir exprimer, pour chaque angle AB, le couple [AC,CB] tel que le trajet A-C-B sera le plus court possible, en temps. Je me doute qu'y la solution de raisonner en trois dimensions, genre z = t et de chercher le minima du plan exprimé ci dessous en fonction de x et y, mais 1) je ne sais pas faire, et 2) n'y a-t-il pas plus simple ?

Merci de vos précieux retours !!

[lyceen95]

Tu dis qu'il y a un seul point C ... mais je pense qu'il y en a 2. Peu importe.

Quand j'entends 'on cherche le minimum', réflexe : 'Pour chercher un minimum, on calcule la dérivée, et on cherche les points où la dérivée s'annule'.
Ca ne suffit pas tout à fait, les points où la dérivée s'annule peuvent être des maximums, ou des points encore plus particuliers ... mais on sait que notre solution est parmi les points où la dérivée s'annule.

Ici, ton point C , il est défini par
On a donc 2 inconnues et , et donc on va parler de dérivées partielles.

[danyL]

bonsoir
est ce que tu as entendu parler de la VMG (Velocity Made Good) ?
sinon, tu trouveras peut etre d'autres idées de calculs en cherchant VMG sur le web

par exemple :
https://www.orange-marine.com/content/4 ... a-la-voile
http://lagoon-inside.com/fr/plus-vite-grace-au-vmg/
https://www.navigation-mac.fr/vmg-vmc-pour-les-nuls/

[JeanLouis69]

@lyceen95 Héhé, oui évidement, tout serait simple dans ce cas Mais pour dériver, je dois modéliser ma fonction polaire, qui à la base n'est fournie par les constructeurs que sous la forme d'un tableau. Comme indiqué, même avec Lagrange, le taux d'erreur de la modélisation polynomiale est assez aléatoire, donc je ne m'y risque pas. Du coup, impossible de dériver quoi que ce soit

@danyL Je ne connaissais pas le terme, mais c'est quelque chose qui fait assez sens. Au vent arrière, si ma projection sur l'axe [0,180] est la même, que mon bateau soit à 180° ou à 160°, nul intérêt de le faire en deux bords.

Mais en reprenant mes calculs je me suis rendu compte que j'ai fait un postulat un peu trop rapide (une heuristique, dirons les puristes :p) dans tous les cas que j'ai calculé pour un vent qui vient de 0° et une direction entre 45 et 160, le trajet le plus court est bien celui dont la distance est la plus courte, en un seul segment donc. Et du paragraphe au dessus, j'en déduis qu'en fait, il y a un intérêt à faire un trajet en deux segments ssi je vais dans la direction où la polaire marque un creux (ex à 0° et 180° : https://media.bateaux.com/bateaux/30727 ... -vpp-2.png). Ex au portant, si mon voilier va à 7 noeuds à 160° et à 4 noeuds à 180°, la projection sera sans doute plus élevée sur mon axe à 160° qu'à 180° donc je vais aussi le faire en deux segments. Sur tout le reste de ma polaire, je n'ai aucun creux, donc le trajet le plus court est le plus direct. Ai-je bon ?

[Ben314]

Salut,
A mon avis, oui, tu as "tout bon" et je pense que pour trouver l'optimum il n'y a pas vraiment besoin de dériver quoi que ce soit, mais simplement d'utiliser la VMG.
Pour prendre un exemple, celui de ton premier post où tu cherche à optimiser un temps de trajet sur un trajet vent arrière en prenant comme polaire celle que tu donne dans ton dernier post : https://media.bateaux.com/bateaux/30727 ... -vpp-2.png
Sur cette polaire, ce qu'on lit, c'est que la meilleure VMG possible vent arrière se situe environ à 145° (c'est le point le plus bas sur la courbe) avec une vitesse d'environ 7.75 Noeud et une VMG d'environ 6.5 Noeud (c'est la projection de la vitesse sur l'axe du vent).
Et, sauf erreur, ça signifie que si tu as à faire un trajet vent arrière avec un angle par rapport à la direction du vent qui soit supérieur à 145°, pour minimiser le temps de trajet, tu as intérêt à faire des bords vent arrière en étant systématiquement à 145° du vent. Et si tu décide de ne faire que deux bord, ça ne te laisse que deux possibilités concernant le point où tu va changer de bord (celui que tu cherche dans tes messages), selon que tu choisisse de commencer par le bord bâbord amure ou par celui tribord amure vu qu'en ce qui concerne la direction, ça sera forcément à 145° du vent. Et ensuite tu change évidement de bord au moment où ton but est à 145° du vent sur l'autre amure.