Question de cours critère trigonalisation

[Gurvan44]

Bonjour à tous.tes,
Cadre : cours MP sur la série Monier
Je ne trouve pas la preuve que "Polynôme minimal scindé => trigonalisable"
j'ai "existence polynome annulateur scindé simple => diagonalisable" mais pour la version trigo je n'ai rien vu sur mon bouquin...

Merci de votre attention !

[GaBuZoMeu]

Bonsoir,

Tu peux raisonner par récurrence sur la dimension de la matrice.
Suppose que c'est vrai pour une matrice de dimension .
Prends une matrice de dimension dont le polynôme caractéristique est scindé, soit une racine de . La matrice a donc un vecteur propre de valeur propre associée , tu changes de base pour une base où ce vecteur propre est le premier vecteur. Le polynôme caractéristique de la matrice formée des dernières lignes et colonnes est le quotient de P par , il est donc scindé. Et roule ma poule !

[Gurvan44]

Bonsoir Gabuzomeu,
je parle du polynôme minimal et non du polynôme caractéristique et je crois comprendre que tu me parles de la preuve : pol carac scindé <=> trigo

[GaBuZoMeu]

Le polynôme minimal divise le polynôme caractéristique, et le polynôme caractéristique divise une puissance du polynôme minimal. Donc le polynôme minimal est scindé si et seulement si le polynôme caractéristique est scindé.

[Gurvan44]

Ah oui, l’argument : « les zeros du pol carac sont aussi les zéros du pol minimal » permet d’établir ça..
ok super merci bcp