Corps, commutativité et anneau intègre

[Guigui1Pierre]

Bonjour,

Je suis tombé sur un théorème qui dit "tout corps commutatif est un anneau intègre".
La démo qui en est donnée est la suivante:
Soit un corps K. Soient x et y dans K tels que xy=0.
Si x est non nul, alors, K étant un corps, x est inversible. Notons son inverse x'. Alors y=(x'x)y=x'(xy)=x'0=0 donc x et y ne sont pas des diviseurs de zéro. Donc K n'a pas de diviseur de zéro donc est un anneau intègre.

Sauf que je ne vois pas en quoi cette démo prend pour hypothèse que le corps K est commutatif?
J'ai l'impression que cette démo montre en fait que tout corps (qu'il soit commutatif ou non) est un anneau intègre.
Est-ce que je me trompe?

[GaBuZoMeu]

Bonjour,

D'abord, un corps est toujours commutatif. Si la multiplication n'est pas commutative, on parle de corps gauche ou d'algèbre à division.

[Guigui1Pierre]

La démo ci-dessus permet-elle de dire que tous les corps gauches sont des anneaux intègres?
(c'est l'impression que j'ai)

[GaBuZoMeu]

Oui, bien que souvent maintenant on demande la commutativité dans la définition d'anneau intègre