équation du troisième degré

[Davidmj]

Bonjour, je n'arrive pas à faire cet exercice, pouvez vous m'aidez svp ?

équation du troisième degré : x3 − 6x − 6 = 0
(a) Approche d'une solution
i. En traçant à la calculatrice la courbe de la fonction, f : x 7→ x3 − 6x − 6, combien
peut-on prévoir de solutions à cette équation ?
ii. Démontrer le résultat de la précédente question (en étudiant les variations de la fonction par exemple)
iii. Donner une valeur approchée de la (ou des) solution(s) (justifier).

[azf]

Bonjour

équation du troisième degré : x3 − 6x − 6 = 0

Je suppose que vous voulez dire

(a) Approche d'une solution
i. En traçant à la calculatrice la courbe de la fonction, f : x 7→ x3 − 6x − 6, combien
peut-on prévoir de solutions à cette équation ?

Je suppose donc que l'on vous demande l'unique solution réelle de cette équation

i. En traçant à la calculatrice la courbe de la fonction, f : x 7→ x3 − 6x − 6, combien

Là vous voulez dire

détrompez moi si j'interprète mal

En fait ce serait bien de dire en quelle classe vous êtes
Pour l'instant je vous graphe la fonction

[Davidmj]

Bonjour, oui c'est ca et je suis en terminal général.

[azf]

D'accord

Donner une valeur approchée de la (ou des) solution(s) (justifier)

On vous demande de justifier une solution approchée de l'unique solution réelle qui comme vous pouvez le voir sur la figure est environ 2.8 ...

(Je suppose donc aussi que vous n'avez pas vu les nombres complexes : il y a deux solutions complexes)

alors je me dis que vous avez vu l'étude d'une fonction

vers quoi elle tend à moins l'infini et à plus l'infini

je me dis aussi que peut être vous avez vu les dérivées

À quels endroits la dérivée de f s'annule ? qu'en conclure?

en fait ça serait bien de nous dire ce que vous avez vu car je ne sais pas ce que c'est (une classe de terminale générale(je ne suis jamais allé au lycée) mais il se peut qu'un vienne prendre le relais pour vous aider car lui saura mieux cibler l'aide

[Davidmj]

je n'ai pas vu la dérivation mais seulement l'étude d'une fonction

[azf]

D'accord

alors ce que vous pouvez faire c'est de montrer qu'en dessous de la solution (environ 2.8 de mémoire -regarder la figure) la fonction est négative sous cette valeur et positive au dessus de cette valeur

Comme ils ne vous ont pas montré les dérivées ils ne peuvent exiger de vous que vous disiez autre chose

Mais il se peut que je me trompe (peut être ici quelqu'un d'autre saura mieux vous conseiller mais en attendant je ne vois pas mieux)

Montrez donc alors deux écritures de la fonction en posant est la solution de l'équation

pour tout alors

pour tout alors

en justifiant cela avec le graphe de la fonction ci-joint plus haut

[Black Jack]

je n'ai pas vu la dérivation mais seulement l'étude d'une fonction

Dans ce cas, on t'a probablement enseigné la méthode suivante :

x³ − 6x − 6 = 0

f(x) = x³ - 6x - 6

f(a) = a³ - 6a - 6
f(b) = b³ - 6b - 6

f(b) - f(a) = b³-a³ - 6b + 6a
f(b) - f(a) = (b-a)(b²+ab+a²) - 6(b - a)
f(b) - f(a) = (b-a)(b²+ab+a²-6)

Avec b > a, (b-a) > 0 et (f(b) - f(a)) a le signe de (b²+ab+a²-6)

si a < b < - racinecarrée(2), on a (b²+ab+a²-6) > 0, donc f(b) - f(a) > 0 et f est croissante.
Si -racinecarrée(2) < a < b < racinecarrée(2), on a (b²+ab+a²-6) < 0, donc f(b) - f(a) < 0 et f est décroissante.
Si racinecarrée(2) < a < b, on a (b²+ab+a²-6) > 0, donc f(b) - f(a) > 0 et f est croissante.

Il y a donc un maximum de f(x) pour x = - racinecarrée(2), ce min vaut f(-racinecarrée(2)) = -0,34... < 0
Il y a un minimum de f(x) pour x racinecarrée(2), ce max vaut f(racinecarrée(2)) = -11... < 0
lim(x--> +oo) f(x) = +oo

Des 6 lignes précédentes, on conclut qu'il y a une seule valeur alpha de x telle que f(x) = 0, et alpha > -racine(2)

on calcule par exemple f(3) = 3 > 0

Et donc alpha est compris dans ]-racine(2) ; 3[

On peut approcher la valeur de alpha par approximations successives (méthode dichotomique entre ]-racine(2) ; 3[

...

A peaufiner pour suivre au mieux ce qui t'a été enseigné.

[mathelot]

Bonsoir,

on note le nombre réel dont le cube vaut 8

On a ainsi

la théorie donne comme racine réelle du polynôme P,défini par , la valeur:


Comme et , est située dans l'intervalle ]2,3[

[Black Jack]

Bonsoir,

on note le nombre réel dont le cube vaut 8

On a ainsi

la théorie donne comme racine réelle du polynôme P,défini par , la valeur:


Comme et , est située dans l'intervalle ]2,3[

Bonjour,

Penses-tu que ta réponse soit adaptée au niveau "Lycée" quand l'élève se situe par "je n'ai pas vu la dérivation mais seulement l'étude d'une fonction" ... bien que cela semble bizarre quand il dit être en "Terminale générale".

[Davidmj]

Re-bonjour,
juste pour être sur, la fonction X2 − 6X + 8 = 0 (avec x diffèrent X)
renvoie bien comme solution x1=2 et x2=4 ?

[phyelec]

x1=2 et x2=4 sont bien les racines de ton équation .

[Black Jack]

Re-bonjour,
juste pour être sur, la fonction X2 − 6X + 8 = 0 (avec x diffèrent X)
renvoie bien comme solution x1=2 et x2=4 ?

Oui, mais cela n'a rien à voir avec ta question initiale.