[1ere S] Montrer que A/B+B/A ≥ 2

[jygl]

Bonjour tout le monde ! :we:

Voilà, j'ai un petit DM à faire, avec entre autres cet exercice :
[INDENT]Soient a et b deux réels strictement positifs, montrer que a/b+b/a 2[/INDENT]

Le truc, c'est que c'est évident dans ma tête, mais je ne vois pas comment le montrer ^^ :mur:

Pourriez-vous me fournir quelques pistes svp ? Merci !

[Carpate]

Bonjour tout le monde ! :we:

Voilà, j'ai un petit DM à faire, avec entre autres cet exercice :
[INDENT]Soient a, b, c et d quatre réels strictement positifs, montrer que a/b+b/a+c/d+d/c 4[/INDENT]
D'où a/b+b/a 2
Enfin il me semble...

Le truc, c'est que c'est évident dans ma tête, mais je ne vois pas comment le montrer ^^ :mur:

Pourriez-vous me fournir quelques pistes svp ? Merci !

car égalité pour

[jygl]

car égalité pour

Haha je ne demandais spécialement la réponse !
Mais merci beaucoup, je vais y songer ! :we:

[zygomatique]

salut

JFF ...

a et b sont positifs donc a/b et b/a sont positifs ...

or tout nombre positif est le carré de sa racine carré

donc



:zen:

[jygl]

salut

JFF ...

a et b sont positifs donc a/b et b/a sont positifs ...

or tout nombre positif est le carré de sa racine carré

donc



:zen:

Haha merci pour ta réponse ^^

Mais j'ai des "problèmes" pour passer de quelque chose comme ce que tu m'as proposé () à la conclusion... :/ :mur:

PS : ne m'en voulez pas trop il se fait tard... :dodo:

[Sake]

Salut,

Haha merci pour ta réponse ^^

Mais j'ai des "problèmes" pour passer de quelque chose comme ce que tu m'as proposé () à la conclusion... :/ :mur:

PS : ne m'en voulez pas trop il se fait tard... :dodo:

Il faut revenir pour cela au début du calcul. Pourquoi Zygo a-t-il calculé a/b + b/a - 2 ? Il y a en fait une raison à cela : On voit que le terme est positif, car il s'agit d'un carré, donc a/b + b/a - 2 est positif, d'où la conclusion.

[Carpate]

salut

JFF ...

a et b sont positifs donc a/b et b/a sont positifs ...

or tout nombre positif est le carré de sa racine carré

donc



:zen:

C'est la même chose, sans radical, que :

qui découle directement de l'identité remarquable

[zygomatique]

oui l'idée primaire est la même ... mais le cheminement n'est pas du tout le même ...

mon cheminement est la classique application de la règle classique :: pour comparer deux nombres on étudie le signe de leur différence ....


remarquer tout de même que a/b et b/a sont inverses et (x + 1/x)^2 = ....

...

[jygl]

oui l'idée primaire est la même ... mais le cheminement n'est pas du tout le même ...

mon cheminement est la classique application de la règle classique :: pour comparer deux nombres on étudie le signe de leur différence ....


remarquer tout de même que a/b et b/a sont inverses et (x + 1/x)^2 = ....

...

Merci à vous deux encore pour vos réponses !
J'ai encore un peu de chemin à faire avant d'en arriver à trouver cela tout seul, mais bon... Merci beaucoup !

[Carpate]

oui l'idée primaire est la même ... mais le cheminement n'est pas du tout le même ...
mon cheminement est la classique application de la règle classique :: pour comparer deux nombres on étudie le signe de leur différence ....

remarquer tout de même que a/b et b/a sont inverses et (x + 1/x)^2 = ....

...

Mais pourquoi passer par les radicaux ? alors que comparer 1/a+1/b et 2 fait directement intervenir le terme (a-b)^2

[Sake]

Mais pourquoi passer par les radicaux ? alors que comparer 1/a+1/b et 2 fait directement intervenir le terme (a-b)^2

Bah peu importe, franchement...

[zygomatique]

Mais pourquoi passer par les radicaux ? alors que comparer 1/a+1/b et 2 fait directement intervenir le terme (a-b)^2

ben parce que la différence est une identité remarquable .... :lol3:

[Shew]

Bonjour tout le monde ! :we:

Voilà, j'ai un petit DM à faire, avec entre autres cet exercice :
[INDENT]Soient a et b deux réels strictement positifs, montrer que a/b+b/a 2[/INDENT]

Le truc, c'est que c'est évident dans ma tête, mais je ne vois pas comment le montrer ^^ :mur:

Pourriez-vous me fournir quelques pistes svp ? Merci !

Bonjour



Comme (le carré d'un nombre est toujours positif) (d'après l'énoncé a et b sont deux réels positifs donc leur produit est aussi positif) donc :



soit par substitution :

[tototo]

Bonjour tout le monde ! :we:

Voilà, j'ai un petit DM à faire, avec entre autres cet exercice :
[INDENT]Soient a et b deux réels strictement positifs, montrer que a/b+b/a 2[/INDENT]
(a^2+b^2)/ab-2ab/ab>=0
(a-b)^2/ab> .. 0
Un carre etant toujour superieur a zero ainsi que le produit de deux nombre > 0. Donc on a demontrer .
Le truc, c'est que c'est évident dans ma tête, mais je ne vois pas comment le montrer ^^ :mur:

Pourriez-vous me fournir quelques pistes svp ? Merci ! [/quote]

[Paul1]

Salut!
(a-b)² ;) 0
a²-2ab+b² ;) 0
a²-b²;)2ab
On simplifie par ab
a²/ab - b²/ab ;)2ab/ab
a/b - b/a ;)2
:lol3:

[Carpate]

Bonjour tout le monde ! :we:

Voilà, j'ai un petit DM à faire, avec entre autres cet exercice :
[INDENT]Soient a et b deux réels strictement positifs, montrer que a/b+b/a 2[/INDENT]
(a^2+b^2)/ab-2ab/ab>=0
(a-b)^2/ab> .. 0
Un carre etant toujour superieur a zero ainsi que le produit de deux nombre > 0. Donc on a demontrer .
Le truc, c'est que c'est évident dans ma tête, mais je ne vois pas comment le montrer ^^ :mur:

Pourriez-vous me fournir quelques pistes svp ? Merci !

tototo a encore frappé !

[t0hierry]

(a - b)^2 >= 0
(a^2 + b^2 - 2ab) >= 0
(a^2 + b^2) >= 2ab
(a/b + b/a) >=2