[1ère S] Aires minimales et maximales

par **Seldemore** » 13 Déc 2006, 17:07

Bonjour tout le monde, j'ai un exercice à faire et je rame complètement, est-ce que quelqu'un pourrait m'aider s'il vous plait ? L'énoncé de l'exercice est :
On coupe une ficelle de 1m de longueur pour entourer deux surfaces : un carré et un domino (rectangle dont la longueur est 2 fois plus grande que la largeur). Où doit-on couper la ficelle pour que la somme des deux aires soit minimale ? maximale ?
Voilà une image reprenant l'énoncé (dsl, j'ai oublié de mettre la ficelle de 1m) :

Voilà, merci d'avance !!!!!!

par **anima** » 13 Déc 2006, 17:25

Seldemore a écrit:Bonjour tout le monde, j'ai un exercice à faire et je rame complètement, est-ce que quelqu'un pourrait m'aider s'il vous plait ? L'énoncé de l'exercice est :
On coupe une ficelle de 1m de longueur pour entourer deux surfaces : un carré et un domino (rectangle dont la longueur est 2 fois plus grande que la largeur). Où doit-on couper la ficelle pour que la somme des deux aires soit minimale ? maximale ?
Voilà une image reprenant l'énoncé (dsl, j'ai oublié de mettre la ficelle de 1m) :

Voilà, merci d'avance !!!!!!

Il me faut plus de précisions: les deux surfaces se touchent? La longueur du domino est-elle la même que la longueur d'un côté du carré?

par **Seldemore** » 13 Déc 2006, 17:41

Non, les deux surfaces ne se touchent pas, et la largeur du domino n'est pas la même que la longueur du côté d'un carré (c'est pour ça que j'ai mis deux couleurs différentes pour les longueurs, pour bien différencier :happy2: ).

par **anima** » 13 Déc 2006, 17:49

Seldemore a écrit:Non, les deux surfaces ne se touchent pas, et la largeur du domino n'est pas la même que la longueur du côté d'un carré (c'est pour ça que j'ai mis deux couleurs différentes pour les longueurs, pour bien différencier :happy2: ).

Y a un lien entre la largeur du rectangle et du carré? Car sinon, je finis en fonction quadratique, et donc ca ne se peut pas que ca soit donné en 1ère S...

par **Seldemore** » 13 Déc 2006, 18:01

Je ne sais absolument pas s'il y a un lien entre les deux longueurs, je ne sais rien de plus que ce que l'énoncé dit, donc en fait, on ne sait même pas si la la longueur du carré et la largeur du domino sont vraiment différente ou pas, mais je ne pense pas qu'elles soient égales, sinon, on aurait par exemple une longueur x, dont on aurait 10x en ajoutant les périmètres des deux surfaces, et donc forcément on aurait x = 0,1m, et à ce moment-là on ne peut pas chercher d'aire minimale ou maximale.

par **anima** » 13 Déc 2006, 18:10

Seldemore a écrit:Je ne sais absolument pas s'il y a un lien entre les deux longueurs, je ne sais rien de plus que ce que l'énoncé dit, donc en fait, on ne sait même pas si la la longueur du carré et la largeur du domino sont vraiment différente ou pas, mais je ne pense pas qu'elles soient égales, sinon, on aurait par exemple une longueur x, dont on aurait 10x en ajoutant les périmètres des deux surfaces, et donc forcément on aurait x = 0,1m, et à ce moment-là on ne peut pas chercher d'aire minimale ou maximale.

C'est bon, j'ai trouvé comment faire. On pose un système d'une équation et une fonction.
100 = 4l1 + 6l2
A(l2) = l1² + l2²

On trouve l1 en fonction de l2 dans la première équation, et on aboutit à:

Etudie donc cette fonction.... :zen:

par **Seldemore** » 13 Déc 2006, 18:14

Je suis désolé mais je n'ai pas du tout compris ton raisonnement. :hein:
A quoi correspond I ?

par **anima** » 13 Déc 2006, 18:17

Seldemore a écrit:Je suis désolé mais je n'ai pas du tout compris ton raisonnement. :hein:
A quoi correspond I ?

c'est des petits L, comme largeur

En gros, tu dis que 100cm est 4 fois la longueur l1 + 6 fois la longueur l2. Tu déduis donc l1 en fonction de l2.

Ensuite, tu dis que l'aire des deux figures est l1² (aire d'un carré) et l2*2l2 (aire d'un rectangle 2:1), et tu nommes cette fonction A(l2) en l'exprimant avec comme seule inconnue l2.

par **Seldemore** » 13 Déc 2006, 18:57

Je suis désolé, je dois être débile, mais je ne comprends pas ton raisonnement. Je comprends pour le 100 = 4l1 + 6l2, mais je ne comprends pas à partir de la fonction A(l2) = l1² + l2². Pourquoi utilises-tu A(l2) et pas A(l1) ? Pourquoi est-ce A(l2) = l1² + l2² et pas A(l2) = l1² + 2l2², puisque l'aire du domino est 2l2² ? Et comment fais-tu pour résoudre un système avec une équation et une fonction ? (j'ai pas appris à faire ça)

par **anima** » 13 Déc 2006, 19:00

Seldemore a écrit:Je suis désolé, je dois être débile, mais je ne comprends pas ton raisonnement. Je comprends pour le 100 = 4l1 + 6l2, mais je ne comprends pas à partir de la fonction A(l2) = l1² + l2². Pourquoi utilises-tu A(l2) et pas A(l1) ? Pourquoi est-ce A(l2) = l1² + l2² et pas A(l2) = l1² + 2l2², puisque l'aire du domino est 2l2² ? Et comment fais-tu pour résoudre un système avec une équation et une fonction ? (j'ai pas appris à faire ça)

- A(l2) et A(l1) reviennent au même. Diviser par 4 au lieu de 6, c'est quand même plus simple

- C'est A(l2) = l1² + 2l2² sauf erreur de ma part (et oui, j'ai fait une coquille. le 2 a sauté)
- Pour résoudre, tu exprimes A(l2) en fonction de uniquement l2, tu trouve la valeur de l2 que tu veux (c.a.d quand A(l2) est minimale et maximale), et tu remplace dans la première équation pour trouver l1

par **Seldemore** » 13 Déc 2006, 19:29

J'ai appliqué ton raisonnement et donc maintenant j'ai :
(j'ai remplacé l1 par x et l2 par y)

A(y) = 17/4y² - 75y + 625 (si je me suis pas trompé, apparemment pas parce que je tombe sur le même résultat que toi).
Mais maintenant, je ne vois pas comment faire pour déterminer le minimum et le maximum de A, car il faut prendre en compte le fait que la corde ne mesure qu'1m, etc..., or je ne sais pas quelle valeur de y prendre pour avoir l'aire maximale, l'aire minimale, tout en respectant le fait qu'il faille couper une corde d'1m.

par **anima** » 13 Déc 2006, 19:33

Seldemore a écrit:J'ai appliqué ton raisonnement et donc maintenant j'ai :
(j'ai remplacé l1 par x et l2 par y)

A(y) = 17/4y² - 75y + 625 (si je me suis pas trompé, apparemment pas parce que je tombe sur le même résultat que toi).
Mais maintenant, je ne vois pas comment faire pour déterminer le minimum et le maximum de A, car il faut prendre en compte le fait que la corde ne mesure qu'1m, etc..., or je ne sais pas quelle valeur de y prendre pour avoir l'aire maximale, l'aire minimale, tout en respectant le fait qu'il faille couper une corde d'1m.

Dériver? :zen:

par **Seldemore** » 13 Déc 2006, 20:15

Hein ? Dériver ? On peut trouver le maximum et le minimum d'une fonction à partir de sa forme dérivée ? (si j'ai bien compris)

En ce cas, on a la forme dérivée de A :
A'(x) = 17/2x - 75

Mais là je bloque totalement, je ne vois pas ce que l'on pourrait faire du tout (d'ailleurs je me demande même pourquoi on utilise la dérivation de A, j'ai pas compris)

par **anima** » 13 Déc 2006, 20:21

Seldemore a écrit:Hein ? Dériver ? On peut trouver le maximum et le minimum d'une fonction à partir de sa forme dérivée ? (si j'ai bien compris)

En ce cas, on a la forme dérivée de A :
A'(x) = 17/2x - 75

Mais là je bloque totalement, je ne vois pas ce que l'on pourrait faire du tout (d'ailleurs je me demande même pourquoi on utilise la dérivation de A, j'ai pas compris)

La dérivée te permet de trouver les points où la tangente sera horizontale, donc les "pics" (maximums et minimums locaux). C'est une des propriétés

Une étude complète de A(x) te permettra de vérifier cela, si ca te chante. Moi, je me contentais juste d'utiliser les propriétés que j'ai du gober (pardon, apprendre) il y a 2 ans.

par **Seldemore** » 13 Déc 2006, 20:43

Là je dois partir, mais je vais essayer de chercher le résultat demain, et est-ce qu'il serait possible, anima, que demain je t'envoie mes résultats (ou du moins l'avancement de mes recherches) par mp pour que tu me confirmes si je suis dans la bonne voie et si c'est bien ça ? En tout cas, merci beaucoup pour tout ce que tu as déjà fait pour m'aider ! :happy2:

par **anima** » 13 Déc 2006, 20:44

Seldemore a écrit:Là je dois partir, mais je vais essayer de chercher le résultat demain, et est-ce qu'il serait possible, anima, que demain je t'envoie mes résultats (ou du moins l'avancement de mes recherches) par mp pour que tu me confirmes si je suis dans la bonne voie et si c'est bien ça ? En tout cas, merci beaucoup pour tout ce que tu as déjà fait pour m'aider ! :happy2:

N'hésite surtout pas. Tu peux même me les envoyer par SMS si ca te chante :zen:

[1ère S] Aires minimales et maximales

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