Récurrence forte sup

[Orph123]

Bonsoir je sollicite votre aide pour la qst suivante:

Montrer par récurrence forte que:

(Pour tout n de N*) ( il existe (p,q) de N²) :
n= (2 à la puissance p ) (2q+1)

MERCI!

[GaBuZoMeu]

Bonsoir,

Utiliser la récurrence pour ça me semble une drôle d'idée. M'enfin ....
Ou bien n est impair : c'est tout bon.
Ou bien n est pair, et alors n/2 ...

[Orph123]

Mais monsieur je ne vois pas où vous faites intervenir le principe de récurrence ( on a précisé dans l exercice qu il faudrait montrer la proposition avec une récurrence forte)

[GaBuZoMeu]

Dans les points de suspension, bien entendu.
(Hypothèse de récurrence : c'est vrai pour tout entier >0 et <n)

[Orph123]

Oui c'est bien ça Monsieur mais c'est à cette étape là que je me bloque, je ne sais pas comment l hypothèse de récurrence va montrer que c'est aussi valable pou (n+1). Pouvez vous m'aider à le faire? MERCI !

[GaBuZoMeu]

Ici, l'hérédité pour la "récurrence forte" qu'on peut utiliser pour montrer pour tout est :
"Si pour tout tel que alors "
(Sous cette forme, on n'a même pas besoin d'initialisation).

[tournesol]

Bonsoir à tous et en particulier à toi GaBuZoMeu
Pourquoi n'a t-on pas besoin d'initialisation ?

[GaBuZoMeu]

Comme cas particulier de

"Si pour tout tel que alors "

tu as
"Si pour tout tel que alors "
La prémisse de cette implication est trivialement vérifiée, n'est-ce pas ?
Je sais parfaitement que cette affirmation "pas besoin d'initialisation" perturbe (je l'ai expérimenté en prépa agreg). Je l'ai mise exprès pour provoquer des réactions.

[tournesol]

Merci à toi mais alors pour P(n) <=> n=n+1 , on obtient :

Le vrai n'implicant pas le faux , on ne peut utiliser ta forme que si on sait ou si on a démontré P(1) , ce qui revient à faire une initialisation en amont de ta présentation .

[GaBuZoMeu]

Si tu veux montrer il suffit de montrer
Si tu as démontré ça, pas besoin d'initialisation. Reste bien sûr à démontrer ça.
Dans l'exercice du questionneur, on le démontre en raisonnant par disjonction des cas : ou bien est impair et c'est fini, ou bien est pair et on considère ... tu vois comment conclure.
Je le répète : aucune initialisation n'a été maltraitée dans le tournage de cette séquence.

[tournesol]

Bonjour et merci
A cause de toi , je me retrouves dans l'enfer des math .
Je vais réflechir à ton explication et te répondre .

[tournesol]

Je reste sur ma position tout en me raliant à la tienne:
)
est bien une caractérisation de sans initialisation .
On peut donc caractériser les intervalles de utilisés dans les récurrences sans initiialisation. Encore faut il démontrer cela , en particulier que a appartient à A .
C 'est indispensable pour que l'implication soit vraie .
Ta présentation de la recurrence pourrait donc être qualifiée de "à initialisation implicite" .

[GaBuZoMeu]

Ècoute, je dis simplement que si on a un procédé uniforme en pour démontrer

alors il n'y a pas besoin de se préoccuper d'initialisation.
Je peux te raconter la démonstration où le fait qu'il n'y a pas besoin d'initialisation choquait certains agrégatifs : il s'agit de montrer
pour tout espace vectoriel de dimension et toute famille (finie ou infinie) d'endomorphismes diagonalisables de cet espace vectoriel qui commutent entre eux, il existe une base de diagonalisation commune.
Démonstration de sous l'hypothèse : si tous les endomorphismes de la famille sont des homothéties, c'est gagné, n'importe quelle base fait l'affaire. Sinon, au moins un des endomorphismes n'est pas une homothétie, et on applique l'hypothèse aux sous-espaces propres de cet endomorphismes qui sont tous de dimension et stables par tous les endomorphismes de la famille. On recolle ensuite les bases de diagonalisation communes de chaque sous-espace propre.
Fin de la démonstration, sans initialisation.

[tournesol]

Merci pour ton aide et pour nous avoir fait découvrir sur ce forum cette formulation de la récurrence .
Je ne recommanderais pas à des étudiants de la pratiquer en concours car je suis sûr que certains profs ne la connaissent pas . C'est mon cas , j'ai 67 ans et je ne l'ai jamais rencontrée .

[GaBuZoMeu]

Bah, ce n'est qu'une version du fait que est bien ordonné.
Si l'ensemble des entiers tels que est non vide, alors le plus petit d'entre eux fournit un contre-exemple à l'énoncé (*) plus haut.

[azf]

Merci GaBuZoMeu (génial même si pour vous c'est évident moi ça m'a fait un truc)