Expression d'une fonction définie sous forme intégrale

[ivesisrael]

Bonjour,
S.V.P je cherche à déterminer, si possible, l'expression explicite de la fonction définie sous forme intégrale par:
.
Pour essaie j'ai fait le changement de variable suivant:
,
et j'obtient:
.
Merci pour vos aides et conseils avisés!!!

[Vassillia]

Bonjour, je te suggère d'utiliser
Tu vas retomber sur une intégrale elliptique de deuxième espèce qui n'a pas d'expression explicite malheureusement mais tu peux toujours faire un développement en série entière

[ivesisrael]

Bonjour,
merci pour votre promptitude et vos suggestions.
Seulement, y a t il une preuve permettant d'affirmer que se genre d’intégrales ne peuvent être définies de manière explicite?

[Black Jack]

Bonjour,

Juste pour info.

Je n'aurais pas écrit "... n'a pas d'expression explicite", mais plutôt que l'expression ne pouvait pas être exprimée par une somme finie de fonctions élémentaires.

Pour moi, une série (même infinie) définit explicitement l'expression.

Une multitude de fonctions habituellement utilisées (sin(x) , e^x, ...) et bien d'autres s'expriment normalement par une série infinie.
exemples :
sin(x) = x - x³/3! + x^5/5! + ... + (-1)^(n+1) * x^(2n-1)/(2n-1)! + ...
e^x = 1 + x + x²/2! + ... + x^n/n! + ...

Mais, comme ces fonctions sont très souvent rencontrées, on les retrouvent sur les calculettes (qui calculent d'ailleurs avec un "certaine" précision).
Ce genre de fonctions sont dites "usuelles" et beaucoup ne se rendent pas compte que c'est en réalité obtenu par des séries infinies qu'on limite à un certains nombre de termes, les termes "oubliés" sont l'erreur que les calculettes doivent minimiser en fonction de la précision attendue. (sans entrer dans les détails de certains algorithmes plus ou moins rapides et précis utilisés dans les calculettes (ou ordi))

Lorsque on a des fonctions qui sont définies via une série infinie de termes ... mais qu'on ne rencontrent pas tous les jours ... elles ne sont pas accessibles sur les calculettes.
Soit on en trouve les résultats, pour des valeurs d'arguments données, dans des tables ou ouvrages spécialisés ... ou bien on les approche en faisant les calculs soit même en vérifiant qu'elle converge et que le "reste" en s'arrêtant après un certain nombre de termes est suffisamment petit pour la précision dont on a besoin.

[Vassillia]

Si tu veux Black Jack, j'avais juste repris les termes de la question car il me semble que c'était son esprit. En tout cas, je suis d'accord qu'un développement en série entière jusqu'à l'infini est exact et qu'en s'arrêtant à un certain nombre de termes, on obtient une approximation tout à fait suffisante si il y a convergence

En ce sens, on peut avoir une preuve puisque justement ce développement en série entière ne correspond à aucune "fonction usuelle" même s'il existe des notations pour les intégrales elliptiques, est-ce qu'on peut les considérer comme des fonctions usuelles ? Pour moi non mais à chacun son idée sur la question

[ivesisrael]

Bonjour,
Et merci encore, Je comprend par vos interventions que les intégrales elliptiques ne peuvent s’écrire sous la forme d'une série de fonction ayant un nombre de termes finie, seulement pouvez vous m’éclairer sur le(s) théorème(s) permettant cette affirmation ?