Problème de dérivation

[Jacques COLLOT]

Bonjour,
Soit la fonction définie par


La fonction est - elle dérivable en ?
Si oui calculez , si non expliquez pourquoi ?

a) J'applique d'abord la définition de la dérivée en un point :

Autrement la fonction est dérivable en et la dérivée vaut 0.

b)Je calcule ensuite la dérivée qui vaut :

Et je fais la limite de cette dérivée en

Le premier terme vaut zéro (facile à démontrer).
Le premier facteur du deuxième vaut si et si . Donc sa limite n'existe pas.
Le deuxième facteur du deuxième terme oscille entre +1 et -1.
Autrement, la fonction n'est pas dérivable en .

Conclusion, j'ai deux résultats contradictoires.
Où est mon erreur?
D'avance merci.

[Rdvn]

Bonsoir
Il n'y a pas de contradiction :
f' n'est pas continue en 0, c'est tout.
Bon courage pour la suite

[Rdvn]

Bien lire
f ' n'est pas continue
peu visible sur le premier message

[Rdvn]

Au fait, la quatrième ligne de votre b) est d'une écriture incorrecte .
Mais , avec les arguments développés ensuite, on arrive à la bonne conclusion :
f ' n'a pas de limite en 0.

[Jacques COLLOT]

Merci.
J'avais bien compris que la dérivée n'était pas continue en x = 0. Mais la question est : est-ce que elle est dérivable en x = 0, puisque si on applique la définition, on obtient "oui", mais si on fait la limite de la dérivée en x = 0, on obtient "non"? Donc pour moi, il y a une contradiction.
Est-ce que l'on a ici l'exemple d'un fonction continue en un point mais non dérivable en ce point?
Cordialement

[azf]

Bonjour

Vous oubliez deux choses

1) votre fonction n'est pas

2) zero n'est pas dans l'ensemble de définition de

Conséquence

est effectivement dérivable sur son ensemble de définition

N'oubliez jamais

Une fonction, un reflexe (slogan)

qui dit fonction dit ensemble de définition de la fonction (et ensemble d'application )

[Rdvn]

@ Jacques COLLOT
Si la définition dit "oui" rien d'autre ne dit "non"
Au a) vous montrez que f est dérivable en 0, par définition. C'est terminé.
Au b) vous montrez que f est dérivable en x différent de 0, par propriétés (cela aurait pu se détailler un peu plus, mais bon...)
La conclusion est sans appel : f est dérivable sur R.
L'étude de limite de f ' c'est UNE AUTRE question : f ' est elle continue en 0 ? Non...
Cordialement

[Jacques COLLOT]

OK.
Je crois que j'ai compris.
Merci à tous.

[catamat]

Bonjour

En fait si f' admet une limite finie en 0, alors cette limite est égale à f'(0) (pour f continue sur [0;a] et dérivable sur ]0;a[) cela se démontre avec le th des accroissements finis.

Mais si ce n'est pas le cas (comme pour votre fonction) c'est à dire si f' n'a pas de limite finie en 0 alors cela ne marche pas.

Voir la fin de cette page (proposition 7) le contrexemple pris ressemble bcp au votre.
https://membres-ljk.imag.fr/Bernard.Yca ... node6.html