Envie de bonbons (et de gâteau)

Olympiades mathématiques, énigmes et défis
Vassillia

Envie de bonbons (et de gâteau)

par Vassillia » 25 Aoû 2021, 16:23

Bonjour, si vous le voulez bien, revenons à des défis plus abordables.

Des bonbons de couleurs rouges, bleus ou verts sont disposés sur un gâteau découpé en parts ?

Exemple non contractuel
Image

Quel est le nombre minimum de part à choisir pour que, quelque soit la répartition des bonbons, on soit certain de pouvoir obtenir au moins la moitié des bonbons de chaque couleur ?

On cherchera pour quelconque mais pour que tout le monde puisse participer, les propositions pour un donné seront les bienvenues

PS : vous avez le droit d'augmenter le nombre de couleurs pour les plus gourmands, je n'ai pas encore cherché ;-)



GaBuZoMeu
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Re: Envie de bonbons (et de gâteau)

par GaBuZoMeu » 26 Aoû 2021, 16:24

Bonjour,

Je ne comprends pas bien ton énoncé.
Si tous les bonbons sont sur une seule part sans qu'on sache sur quelle part ils sont, on ne peut être sûr d'avoir au moins la moitié des bonbons de chaque couleur qu'en prenant toutes les parts.

Tu veux dire qu'on choisit les parts en voyant les bonbons qui sont dessus ? Par exemple, s'il y a une seule couleur, il suffit de pouvoir choisir la moitié des parts pour avoir au moins la moitié des bonbons et ça ne marche pas si on en choisit moins dans le cas où il y a un bonbon sur chaque part. Dans le cas d'une seule couleur, la réponse à ta question est 1/2 (bel effort, non ?).

Vassillia

Re: Envie de bonbons (et de gâteau)

par Vassillia » 26 Aoû 2021, 19:46

Oui, c'est exactement ça, on pourra voir les bonbons donc on choisira nos parts en connaissance de cause. Mais, il faut que le nombre de parts annoncé soit valable quelque soit la distribution des bonbons donc avant de les voir.

Je suis donc d'accord avec ton n parts parmi les 2n parts pour 1 couleur de bonbon. Pour être honnête, je ne suis pas vraiment impressionnée par l'effort nécessaire à ce résultat (tu t'en doutes j'imagine ;) ) mais je te remercie quand même de ton effort pour clarifier le problème.

GaBuZoMeu
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Re: Envie de bonbons (et de gâteau)

par GaBuZoMeu » 27 Aoû 2021, 08:40

Je modifie complètement le problème.
Sur le cercle ( pour gâteau bien sûr) on a fonctions mesurables ( pour bonbons bien sur) à valeurs entières positives ou nulles, intégrables.
Pour chaque -uplet d'entiers positifs ou nuls , je choisis une moitié (au sens de la mesure sur ) de l'ensemble . La réunion de tous les fait la moitié du gâteau et sur cette moitié j'ai la moitié des bonbons de chacune des couleurs.
Bien sûr le problème se complique un peu quand on discrétise le gâteau en coupant des parts.

Vassillia

Re: Envie de bonbons (et de gâteau)

par Vassillia » 27 Aoû 2021, 11:46

Euh oui d'accord mais tu as bien fait de signaler que tu modifies complètement le problème car il n'y en a plus vraiment dans ta version sans discrétisation du gâteau en coupant des parts.

J'avoue c'est bien trouvé, évidemment je ne peux plus me contenter de la moitié du gâteau à partir de 2 couleurs donc tu gagnes indiscutablement sur le fait que personne ne fera mieux que toi mais en trichant un peu (beaucoup) quand même. :lol:

Imod
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Re: Envie de bonbons (et de gâteau)

par Imod » 31 Aoû 2021, 13:02

Le problème n'attire pas les foules , sans doute parce qu'il est loin d'être simple :ghee:

Pour aider un peu , avec trois couleurs on peut toujours choisir n+1 parts avec la bonne quantité de bonbons . Je ne donne pas de solution car je connais le problème depuis un moment ( j'ai reconnu mon illustration dans le message initial :) )

Je n'ai pas encore cherché au delà de trois couleurs , j'attends d'abord les réactions pour le problème initial :mrgreen:

Imod

GaBuZoMeu
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Re: Envie de bonbons (et de gâteau)

par GaBuZoMeu » 31 Aoû 2021, 19:02

Bonsoir,

Pour 3 couleurs, la discrétisation ne fait perdre qu'une part. La moitié donnée par le problème continu (très facile) n'est donc pas si idiote.

Vassillia

Re: Envie de bonbons (et de gâteau)

par Vassillia » 01 Sep 2021, 00:15

Je n'ai jamais dit que c'était idiot, juste de la triche :hehe:

Pour ne rien vous cacher, ma méthode de résolution pour 2 ou 3 couleurs qui donne n+1 parts consiste à mettre 2 parts de coté puis à choisir judicieusement une moitié du gâteau restant pour être plus ou moins équitable en bonbons. Ensuite j'arrive à compenser le plus ou moins équitable par les 2 parts mises de coté. Problème, ce n'est pas directement généralisable avec 4 couleurs ou plus. La manière de faire de Imod est peut-être plus pertinente que la mienne, enfin je compte sur lui en tout cas car on aura besoin de plus que n+1 parts, c'est certain.

On te laisse chercher GaBuZoMeu ou alors on donne la solution pour 3 couleurs et on essaye de passer à 4 couleurs ou plus ensemble ?

PS : Je te crédite volontiers le problème Imod, il me vient du même collègue qui m'avait posé le problème des fourmis, vous avez visiblement les mêmes gouts et moi aussi, ça fait plaisir ;)

 

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