La corde de Bertrand

[Vassillia]

Bonjour à tous, un huluberlu bien connu m'a fait penser à un défi assez facile normalement.

La question historique est :
Quelle est la probabilité qu'une corde choisie au hasard dans un cercle soit de longueur supérieure au coté du triangle équilatéral inscrit dans le cercle ? Tout le paradoxe est dans la manière de choisir la corde :
- extrémités au hasard sur la circonférence du cercle
- et coordonnées polaires au hasard pour définir un point qui est le milieu de la corde
- et coordonnées cartésiennes au hasard pour définir un point qui est le milieu de la corde

Si vous n'avez jamais eu l'occasion de faire ces calculs, je vous les conseille mais je veux surtout vous proposer une 4ème manière
- et coordonnées cartésiennes au hasard pour définir un point par lequel doit passer une droite qui présente un angle au hasard par rapport à une direction fixée.

Bon amusement

ref de Jacques Harthong qui dit la même chose que toutes personnes sensées heureusement https://mathinfo.unistra.fr/websites/ma ... 3/o_83.pdf

[GaBuZoMeu]

Bonsoir,

Peux-u préciser ta quatrième manière ? Le point (x,y) est choisi uniformément dans le disque ? Ou alors, où est-il choisi ?

Au lieu d'un choix uniforme dans le disque, on peut penser au tir sur cible et le choisir dans le plan suivant une loi binormale centrée avec symétrie de rotation ....

[Vassillia]

Je pensais à un point choisi uniformément dans le disque effectivement mais si tu veux faire comme pour le tir sur cible, fais toi plaisir, je n'ai pas encore regardé ce que ça va donner dans ce cas.

[lyceen95]

Ce paradoxe n'est en fait pas un paradoxe. C'est juste l'illustration qu'un problème doit être posé clairement.

Les sages savent qu'un problème bien posé est un problème à moitié résolu.
Mais effectivement, pour savoir poser correctement un problème, il faut être conscient de l'ambiguité, il faut savoir s'exprimer clairement, il faut savoir écouter, et ces qualités là ne sont pas équitablement réparties.

[Vassillia]

Entièrement d'accord, ce n'est pas à proprement parler un paradoxe mais je trouve assez sympa de réaliser que la manière de choisir au hasard a un fort impact sur le résultat.

Evidemment toute personne refusant d'entendre que sa manière de lire l'énoncé n'est pas LA seule et unique ne peut pas en profiter mais on est sur un souci d'ordre psychologique (voir psychiatrique), pas mathématiques.
Alors qui se motive à résoudre la situation de son choix ? N'hésitez pas à en proposer d'autres d'ailleurs.

[GaBuZoMeu]

Je propose cette version que j'aime bien :

Dans l'expérience de Harthong (un cercle tracé au sol, des fétus de paille qui tombent du plafond et sont dispersés par un ventilateur), on suppose que le rayon du cercle est 10cm et que les fétus de paille font tous 30 cm.
On ne prolonge pas les fétus tombés à terre pour savoir si leurs droites supports coupent le cercle. On ne considère que les fétus qui ont vraiment deux points d'intersection avec le cercle, sans qu'il soit besoin de les prolonger.
Quelle est alors la probabilité qu'une corde ainsi obtenue soit plus longue que le côté du triangle équilatéral inscrit dans le cercle ?

[Vassillia]

J'ai lu le pdf de Harthong mis en lien au début donc je sais que dans ce contexte, la modélisation la plus pertinente est la 2ème manière. Je le crois sur parole, cela ne me parait pas illogique que les droites supports soient réparties uniformément.

Faisons le calcul en rappelant qu'une corde a une longueur avec le rayon du cercle et l'angle formé entre une extrémité de la corde, le centre du cercle et l'autre extrémité de la corde. Donc le triangle équilatéral inscrit a des cotés de longueur

Je choisis au hasard les coordonnées polaires du milieu de la corde :
l'angle uniformément entre et
la distance au centre uniformément entre et . La demi-corde doit alors vérifier Pythagore autrement dit .

Pour avoir il faut c'est à dire et on obtient événement qui arrive avec une probabilité grâce à l'uniformité de la distribution de sur .

Démonstration dédicacée à notre huluberlu préféré qui a réussi à faire une erreur dans le sens de son inégalité sans avoir justifié quoi que ce soit. Mais sinon GaBuZoMeu, tu as fait le calcul pour la 4ème manière que je proposais ?

[Doraki]

La version 4 est probablement plus simple qu'elle n'en a l'air

Plutôt que de tirer un angle au hasard, tournons le disque (avec le point) d'un angle au hasard (indépendemment du point même si ça ne devrait pas changer grand chose) puis traçons une droite horizontale.

Comme la distribution uniforme du disque après rotation reste uniforme, et que la rotation ne change grosso modo rien au disque, il ne sert strictement à rien de la faire, donc en fait le procédé est équivalent à tirer un point du cercle uniformément dans le disque et tracer une droite horizontale.

Pour avoir une corde assez longue il faut donc tirer un point avec |y| <= r/2 où r est le rayon du cercle
Je trouve alors une probabilité de (1/3 + sqrt3/pi) = 0.88466.. si je me suis pas gourré

[GaBuZoMeu]

Bonjour,

Démarche astucieuse, mais le résultat est en fait .

[Vassillia]

Merci à vous 2, j'ai raisonné exactement comme Doraki même si je suis d'accord avec la valeur proposée par GaBuZoMeu. On a une distribution uniforme dans le disque et on veut calculer la probabilité que |y<r/2| c'est à dire la zone en vert

Les camemberts en vert foncé représentent de l'aire du disque.
Les triangles en vert clair ont une aire de , en divisant par l'aire du disque, on en déduit qu'ils représentent de l'aire du disque

[Doraki]

ah oui en effet, j'ai oublié un facteur 2

[GaBuZoMeu]

Avec la même méthode, pour la variante que j'ai proposée (coordonnées indépendantes suivant des lois normales centrées d'écart-type égal au rayon du cercle), je trouve une probabilité de , où et

[GaBuZoMeu]

J'ai lu le pdf de Harthong mis en lien au début donc je sais que dans ce contexte, la modélisation la plus pertinente est la 2ème manière. Je le crois sur parole, cela ne me parait pas illogique que les droites supports soient réparties uniformément.

Pas illogique, bien sûr. Mais en quoi serait-ce "la modélisation la plus pertinente" ? Une corde étant le segment qui relie deux points du cercle, il me paraît tout aussi pertinent de choisir ces deux points de manière uniforme sur le cercle.
Après, des goûts et des couleurs ...

[Vassillia]

J'ai précisé "dans ce contexte" c'est à dire les fétus de paille tombés du plafond dispersés par un ventilateur. Si Harthong me dit qu'il a fait cette expérience et que c'est la modélisation la plus pertinente, je le crois sur parole ne serait-ce que par flemme de la refaire.

Par contre, je ne suis sûrement pas d'accord sur le fait que ce sera la modélisation la plus pertinente quelque soit le contexte, je ne jure que par les tests statistiques en la matière. Je suis sûre qu'on peut inventer d'autre contexte pour obtenir d'autre probabilité même en utilisant la loi uniforme. Je te laisse donner ton exemple du casino mais c'est clair pour moi que cette expérience correspond parfaitement à choisir une corde au hasard et la meilleure modélisation sera la 1ère manière.

Pire, si comme dans ta jolie variante, on utilise la loi normale, on peut même obtenir la probabilité qu'on veut ou presque en faisant varier l'ecart-type. Bref comme le dit Lyceen95, un problème bien posé et en grande partie résolu, c'est un petit peu toute la difficulté (et la beauté de mon point de vue) de la modélisation.

[GaBuZoMeu]

D'accord avec toi, si tu voulais effectivement parler du contexte de l'expérience imaginaire de Harthong. Qui me semble d"ailleurs bien difficile à réaliser pratiquement, et sujette à de grosses erreurs quand il s'agira de prolonger les fétus de paille en des droites.

[lyceen95]

Si je laisse tomber un fétu de paille ... il faut préciser les conditions de l'expérience.
J'ai un disque qui fait 5 mètres de diamètre. Je positionne un support à 1 mètre au dessus du sol, avec un trou au dessus du centre du disque.
Et je laisse tomber un fétu de paille par ce trou.
Et je répète l'expérience 1000 fois.
Il y a un ventilateur. De quelle puissance ?
Si je remplace mon ventilateur par un autre plus puissant, et/ou si je modifie la hauteur du support (2 mètres au lieu de 1 mètre), je vais obtenir des résultats différents.

Et je vais pouvoir choisir les paramètres que je veux, pour obtenir les résultats que je veux.
Enfin, oui et non.
Si je prends toujours le même fétu de paille, si je le tiens toujours de la même façon, si le ventilateur exerce toujours la même force, le fétu tombe 1000 fois au même endroit, dans la même position. Les 1000 segments obtenus donnent 1000 fois la même corde.

[Vassillia]

Vos arguments ont convaincus mon coté flemmarde
Je préfère nettement rédiger et réaliser le protocole d'expérience pour une roulette de casino où je lance 2 billes plutôt que tout le bazar avec un trou dans le plafond, des fétus de paille (qui ne seront vraisemblablement pas droits), un ventilateur...
Les 2 restent potentiellement valables donc on ne peut pas choisir au vu de l'énoncé mais pour répondre à la question historique, la roulette me semble nettement plus naturelle comme manière de penser.

[leanj]

On ne peux pas choisir une corde dans un cercle car elle n'a jamais la bonne longueur, mais on peu par contre croquer dans une corde de guitare por en étudier ses harmoniques (sans ce casser les dents).
Au fait est-ce que cet idiot de bleu de musc a trouvé le moyen pour acheter le contrôle du climat ?