Nombre de racine d’un polynôme

[Madara22]

Bonjour,
J’ai un problème concernant un exercice, voici l’énoncé:
Soit n >=2 et soit P un polynôme de R de degré n
Montrer que si P a n Racines réelles distinctes aloes Q=P^2+1 a 2n racines distinctes dans C
J’arrive à montrer que Q’ possède 2n-1 racines dans R mais je n’arrive pas à avoir d’information sur Q
Pouvez vous m’aider ? ( sans me donner la réponse juste des pistes de recherche)

[Skullkid]

Bonjour, tu as quasiment fini. Que doit satisfaire une racine multiple de Q ?

[Madara22]

Si une racine est de multiplicité k pour Q alors elle est aussi racine de toutes les dérives k-ieme de Q
Mais si k est racine de Q’ cela ne veut pas dire que k est racine de Q je ne vois pas trop comment avancer avec ça

[GaBuZoMeu]

Bonsoir,

Combien Q a-t-il de racines dans , comptées avec multiplicités ?
Est-ce que Q et Q' peuvent avoir une racine commune ?

[Madara22]

Ahh comme Q est un polynôme reel qui ne s’annule pas il ne possède que des racines complexes non réelles qui sont toutes différentes de celles de Q’ car elles sont toutes réelles
Et comme d’après le théorème d’Alembert Gauss tout polynôme non constant est scindé sur C alors Q est scindé sur C et possède exactement deg(Q)=2n racines complexes.
C’est bien ça ?

[GaBuZoMeu]

On dirait.