Interprétation géométrique norme d'un vecteur

[sarah12345]

Bonjour à tous, en espérant que vous allez bien.

Nous avons un parallélogramme délimité par les points A(1,-1,1), B(3,0,2), C(2,3,4) et D(0,2,3). Je devais trouver un vecteur orthogonal au plan du parallélogramme et j'ai trouvé v = (-1.-5,7). La norme de ce vecteur est √75.

La question est : Quelle interprétation géométrique peut-on donner à la norme de ce vecteur ?

Franchement, j'en ai pas la moindre idée...

[Aquillaa]

Comment as-tu calculé le vecteur normal ? Si c'est en faisant un produit vectoriel, la norme est l'aire de ton parallélogramme me semble-t-il (mais je laisse quelqu'un d'autre confirmer, tout cela est trop ancien pour moi)

[lyceen95]

Tu devais trouver un vecteur orthogonal au plan du parallèlogramme.
L'article indéfini un est bien adapté à la question.

Si je te demande devant un arbre : donne moi une feuille de cet arbre, tu vas arracher une feuille, une au hasard, ou en tout cas assez facile à atteindre, et tu vas me la donner. Une au hasard.
Donc pas question d'interpréter outre-mesure cette feuille.
Pour un chêne, les feuilles sont toutes des feuilles de chênes, mais leurs tailles n'importent pas.

Là, c'est pareil, tu as trouvé un vecteur orthogonal au plan, un parmi une infinité.
Tu aurais aussi bien pu trouver (ou plutôt choisir) w(-2,-10,14) ou u(-0.1, -0.5, 0.7) ou -v(1,5,-7) ... Tous ces vecteurs ont la même direction, mais c'est tout.

Tous ces vecteurs sont bons (je n'ai pas vérifié, je suppose que celui que tu as trouvé était bon).

[sarah12345]

Comment as-tu calculé le vecteur normal ? Si c'est en faisant un produit vectoriel, la norme est l'aire de ton parallélogramme me semble-t-il (mais je laisse quelqu'un d'autre confirmer, tout cela est trop ancien pour moi)

Oui, je l'ai trouvé en faisant le produit vectoriel, et effectivement, la norme de ce vecteur est l'aire du parallélogramme. Je n'y avais pas pensé, je crois que ça répond à la question. Merci beaucoup !

[sarah12345]

Tu devais trouver un vecteur orthogonal au plan du parallèlogramme.
L'article indéfini un est bien adapté à la question.

Si je te demande devant un arbre : donne moi une feuille de cet arbre, tu vas arracher une feuille, une au hasard, ou en tout cas assez facile à atteindre, et tu vas me la donner. Une au hasard.
Donc pas question d'interpréter outre-mesure cette feuille.
Pour un chêne, les feuilles sont toutes des feuilles de chênes, mais leurs tailles n'importent pas.

Là, c'est pareil, tu as trouvé un vecteur orthogonal au plan, un parmi une infinité.
Tu aurais aussi bien pu trouver (ou plutôt choisir) w(-2,-10,14) ou u(-0.1, -0.5, 0.7) ou -v(1,5,-7) ... Tous ces vecteurs ont la même direction, mais c'est tout.

Tous ces vecteurs sont bons (je n'ai pas vérifié, je suppose que celui que tu as trouvé était bon).

Je n'ai pas trop compris l'analogie des feuilles

[Black Jack]

Bonjour,

L'équation du plan du parallélogramme est : x + 5y - 7z + 11 = 0

Les vecteurs normaux au plan sont de la forme v(k ; 5k ; -7k) avec k un réel quelconque différent de 0.

Avec k = -1 ... on retrouve le vecteur que tu as donné.

Mais (comme on te l'a déjà dit), il y en a une infinité d'autres (avec des valeurs de k différentes (sauf 0))

avec k = -2 ou k = -0,1 ou k = 1, on trouve les vecteurs w, u et -v proposé par lycéen95.
*******
Comme lyceen 95 te l'a expliqué, il n'y a pas un seul vecteur normal au plan, il y en une infinité.
Et tous ces vecteurs peuvent évidemment avoir des normes différentes

avec v(1 ; 5 ; -7), on a |v| =

mais on a w(-2,-10,14) et |w| =

et aussi u(-0.1, -0.5, 0.7) et |u| =

... et tous ces vecteurs (v , w, u ...) sont des vecteurs normaux au plan du parallélogramme.

Peut-on alors dire que la norme de tous les vecteurs normaux au plan du parallélogramme est la même ? et donc ...
************

L'analogie avec les feuilles d'un chêne est parlante.

Si on te demande de prendre une feuille sur un chêne ... tu as le choix entre de multiple feuilles.
Elles ont toutes une caractéristique commune (qui est d'appartenir au chêne)
Et cependant, elles sont toutes différentes (pas la même forme, pas le même poids, pas la même taille ...).

C'est pareil dans ton exercice.

On te demande de calculer UN vecteur normal au plan ... tu as le choix entre de multiples vecteurs (il y en a même une infinité de possibles).
Ils ont tous une caractéristique commune (qui est d'être normal au plan du parallélogramme)
Et cependant, ils sont tous différents (pas la même norme (sauf avec leur vecteur opposé ... (comme v et -v)).

OK ?



.

[sarah12345]

Bonjour,

L'équation du plan du parallélogramme est : x + 5y - 7z + 11 = 0

Les vecteurs normaux au plan sont de la forme v(k ; 5k ; -7k) avec k un réel quelconque différent de 0.

Avec k = -1 ... on retrouve le vecteur que tu as donné.

Mais (comme on te l'a déjà dit), il y en a une infinité d'autres (avec des valeurs de k différentes (sauf 0))

avec k = -2 ou k = -0,1 ou k = 1, on trouve les vecteurs w, u et -v proposé par lycéen95.
*******
Comme lyceen 95 te l'a expliqué, il n'y a pas un seul vecteur normal au plan, il y en une infinité.
Et tous ces vecteurs peuvent évidemment avoir des normes différentes

avec v(1 ; 5 ; -7), on a |v| =

mais on a w(-2,-10,14) et |w| =

et aussi u(-0.1, -0.5, 0.7) et |u| =

... et tous ces vecteurs (v , w, u ...) sont des vecteurs normaux au plan du parallélogramme.

Peut-on alors dire que la norme de tous les vecteurs normaux au plan du parallélogramme est la même ? et donc ...
************

L'analogie avec les feuilles d'un chêne est parlante.

Si on te demande de prendre une feuille sur un chêne ... tu as le choix entre de multiple feuilles.
Elles ont toutes une caractéristique commune (qui est d'appartenir au chêne)
Et cependant, elles sont toutes différentes (pas la même forme, pas le même poids, pas la même taille ...).

C'est pareil dans ton exercice.

On te demande de calculer UN vecteur normal au plan ... tu as le choix entre de multiples vecteurs (il y en a même une infinité de possibles).
Ils ont tous une caractéristique commune (qui est d'être normal au plan du parallélogramme)
Et cependant, ils sont tous différents (pas la même norme (sauf avec leur vecteur opposé ... (comme v et -v)).

OK ?



.

Merci beaucoup pour votre réponse, je comprends mieux l'analogie maintenant !

Je sais aussi qu'il y a une infinité de vecteurs normaux au quadrilatère, et qu'ils ont des normes différentes. Mais comme j'ai choisi les vecteurs AB et AD (A, B, C et D étant les quatre points consécutifs du parallélogramme) pour calculer le vecteur normal, l'interprétation géométrique de la norme de ce vecteur est l'aire du parallélogramme. Je pense que c'est ça la réponse à la question.

[azf]

Je pense que c'est ça la réponse à la question.

Bonjour

Je ne vois pas de question

Pourriez vous faire un papier collé de l'énoncé ?

[sarah12345]

Je pense que c'est ça la réponse à la question.

Bonjour

Je ne vois pas de question

Pourriez vous faire un papier collé de l'énoncé ?

Bien sûr, voici l'énoncé :


(J'avais déjà répondu oui à la question a).

[azf]

Merci Sarah

Donc vous voyez que la question a tout son sens quand on lit : "en utilisant le produit vectoriel"

c'est avec ce produit qu'on peut y vérifier que la norme vaut l'aire géométrique du parallélogramme

Dans votre post initial ce mot très important a été oublié

[Black Jack]

Bonjour,

Je reste très dubitatif sur la réponse donnée à la question b.

L'énoncé demande de donner UN vecteur orthogonal au plan ... sans rien préciser d'autre.

Il n'y a donc aucune raison particulière pour choisir le vecteur issu du produit vectoriel des vecteurs AB et CD.

Si on choisit ce vecteur particulier ... alors sa norme est bien la mesure de l'aire du parallélogramme.

Mais si c'est la réponse attendue, alors l'énoncé est mal foutu ... car il devait alors ne pas demander "UN" vecteur, mais bien préciser que c'était celui engendré par le produit vectoriel des vecteurs AB et CD.

Ce n'est que mon avis ... Et je le partage, évidemment.

[azf]

Il n'y a donc aucune raison particulière pour choisir le vecteur issu du produit vectoriel

C'est vrai mais elle vient de corriger l'énoncé cette nuit en postant l'énoncé dans son intégralité et dans lequel il est écrit : "En utilisant le produit vectoriel"

(la prochaine fois elle fera attention à poster l'énoncé complètement et elle gagnera du temps : elle s'appelle Sarah et non pas Terminator T-X et c'est d'ailleurs pas certain que Terminator T-X ait besoin de poster une question en maths vu comment elle fait ses calculs)

[azf]

pour la culture générale

Terminator T-X est jouée par Kristanna Loken dans Terminator 3 "le soulèvement des machines"

bon après cette actrice a continuer à jouer son rôle d'humain mais ça c'est son problème (pas le miens)

Faut pas tout nous mettre sur le dos non plus : elle a fait un choix

[Black Jack]

Rebonjour,

Ce n'est pas parce qu'on parle de produit verctoriel (bien que moi je ne le vois pas écrit) que disparaît ma remarque.

On donne 4 points (qui sont bien coplanaires), pourquoi choisir explicitement les vecteurs AB et AD pour en faire le produit vectoriel ?

Je vérifie que les points sont coplanaires et pas alignés.

Et puis pourquoi pas (entre une infinité d'autres choix), je choisis les vecteurs AC(1;4;3) et BD(-3;2,1) ...

et je fais le produit vectoriel (puisque c'est soit-disant imposé) ... et je trouve le vecteur : (-2 ; -10 ; 14)

... qui est bien un vecteur normal au plan, avec son module = square|300| = 2.square(75)

Et donc, je persiste, si l'énoncé ne précise pas quel vecteur normal particulier on doit trouver (qu'il soit ou non issu d'un produit vectoriel pas explicitement précisé), on ne peut pas conclure que la norme de ce vecteur représente l'aire du parallélogramme.

[azf]

Ce n'est pas parce qu'on parle de produit verctoriel (bien que moi je ne le vois pas écrit) que disparaît ma remarque.

Bonjour Black Jack

Elle a corrigé le message mais plusieurs posts plus loin

capture image du début de son énoncé



Bonne journée à vous

La prochaine fois l'énoncé sera complètement recopié car elle saura qu'il est impossible de résumer un énoncé (un énoncé dit tout ce qu'il faut dire sans jamais en dire plus que ce qu'il faut ni moins que ce qu'il faut)

[Black Jack]

Ce n'est pas parce qu'on parle de produit vertoriel (bien que moi je ne le vois pas écrit) que disparaît ma remarque.

Bonjour Black Jack

Elle a corrigé le message mais plusieurs posts plus loin

capture image du début de son énoncé



Bonne journée à vous

La prochaine fois l'énoncé sera complètement recopié car elle saura qu'il est impossible de résumer un énoncé (un énoncé dit tout ce qu'il faut dire sans jamais en dire plus que ce qu'il faut ni moins que ce qu'il faut)

Bonjour,

Cela ne change rien (voir ma réponse précédente)

Si on ne spécifie pas qu'il s'agit spécifiquement du produit vectoriel des vecteurs AB et CD...

On trouve, par exemple, un autre vecteur normal au plan (pas la même norme) en faisant le produit vectoriel des vecteurs AC(1;4;3) et BD(-3;2,1) ... et la norme de ce vecteur n'est pas représentative de l'aire du parallélogramme... bien qu'on ait utilisé un produit vectoriel (à partir des points donnés) pour le déterminer.

Non ?

[azf]

Si on ne spécifie pas qu'il s'agit spécifiquement du produit vectoriel des vecteurs AB et CD...

pardon mais et sont colinéaires

si elle fait cela le produit vectoriel sera nul

elle effectue le produit vectoriel



et comme

[sarah12345]

Rebonjour,

Ce n'est pas parce qu'on parle de produit verctoriel (bien que moi je ne le vois pas écrit) que disparaît ma remarque.

On donne 4 points (qui sont bien coplanaires), pourquoi choisir explicitement les vecteurs AB et AD pour en faire le produit vectoriel ?

Je vérifie que les points sont coplanaires et pas alignés.

Et puis pourquoi pas (entre une infinité d'autres choix), je choisis les vecteurs AC(1;4;3) et BD(-3;2,1) ...

et je fais le produit vectoriel (puisque c'est soit-disant imposé) ... et je trouve le vecteur : (-2 ; -10 ; 14)

... qui est bien un vecteur normal au plan, avec son module = square|300| = 2.square(75)

Et donc, je persiste, si l'énoncé ne précise pas quel vecteur normal particulier on doit trouver (qu'il soit ou non issu d'un produit vectoriel pas explicitement précisé), on ne peut pas conclure que la norme de ce vecteur représente l'aire du parallélogramme.

Attention, à la question a) on demande de vérifier si les points A, B, C et D sont les points consécutifs d'un parallélogramme. La réponse était oui, donc on ne peut pas prendre les vecteurs AC et BD pour calculer l'aire du parallélogramme, puisque ce sont les diagonales.

[sarah12345]

La prochaine fois l'énoncé sera complètement recopié car elle saura qu'il est impossible de résumer un énoncé (un énoncé dit tout ce qu'il faut dire sans jamais en dire plus que ce qu'il faut ni moins que ce qu'il faut)

Effectivement, j'aurais dû préciser tout l'énoncé. Pardon, et merci beaucoup pour votre aide à tous ça me fait chaud au cœur.

[azf]

Je ne pense pas qu'il ( Black Jack)a vu l'image que vous avez placé Sarah

mais sinon c'est ok (vous avez raison AB et CD sont parallèles BC et AD sont parallèles)

Si Black Jack n'a pas accès à l'image c'est possible alors forcément il ne peut pas le savoir

Dans mon pays par exemple mon président (bien aimé car chez nous on l'aime ) nous autorise à venir sur ce forum et a avoir les images placées mais par exemple je n'ai pas moi même accès à tout site internet (et comme on l'aime eh bien on ne discute pas -on fait pas comme une certaine gymnaste à demander l'asile politique au Japon mais qui quand elle reviendra au pays car on la ramènera comprendra que sa formation de gymnaste c'est notre etat qui l'a payé)