Bonjour
Est-ce que dans mon propos ci-dessous vous voyez des fautes de vocabulaire ou des fautes de raisonnement ou ... autre chose qui ne va pas?
J'apprends tout seul de sorte qu'il est très difficile pour moi de détecter mes bêtises et je profite de ce mois de juillet que les étudiants soient tous partis en vacance (enfin j'espère) pour venir ici sur leurs forum
Au préalable on notera par le produit scalaire euclidien des deux vecteurs et
Soit un repère orthonormé de l'espace
et une projection conique de centre et de plan-image d'équation
dans ce repère
On considère trois points qui dans ce repère sont définis par
Par conséquent les quatre points sont affinement indépendants de sorte que
ne sont pas alignés
ne sont pas alignés
ne sont pas alignés
On supposera que ces quatre points sont situés en dehors du plan central parallèle au plan-image
et on supposera que les droites
et sont distinctes
et sont distinctes
et sont distinctes
On considère et on va noter les complétés projectifs des droites respectivement
Enfin on considère et on note des vecteurs unitaires et directeurs des droites respectivement sur le plan projectif
Entre parenthèses le vecteur ne peut pas être nul car on a supposé que les droites et sont distinctes
de sorte que la projection conique de centre de et de sont deux projections distinctes
De la même manière le vecteur ne peut pas être nul, pas plus que le vecteur avec les suppositions données
Il en résulte donc que l'on peut proposer qu'ils soient unitaires étant donnés qu'ils sont des vecteurs directeurs de droites dans le plan projectif
Proposition
Démonstration:
Si et sont colinéaires alors et ont même direction
et dans ce cas il en résulte que sont alignés et cela n'est pas l'hypothèse de départ
De la même manière et ne sont pas colinéaires et de la même manière et ne le sont pas non plus
de sorte qu'on vérifie
Par ailleurs on a dit que sont des vecteurs unitaires
donc par conséquent
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