Les types de séries

[GaBuZoMeu]

Bonjour,

Ta question ne relève pas de la rubrique "Lycée", mais de la rubrique "Supérieur".

Un développement en série entière (disons, en 0) donne une fonction comme somme d'une série de puissances de la variable (une série entière) qui converge dans un disque de centre l'origine.

Un développement limité (disons aussi en 0), comme son nom l'indique, est limité à un certain ordre , et donne un polynôme de degré inférieur ou égal à (la partie régulière du développement limité) dont la différence avec la fonction est négligeable devant .

La série de Taylor d'une fonction au voisinage de 0 est la série formelle ; formelle ça veut dire qu'on ne lui demande pas de converger. Correction : si cette série a un rayon de convergence >0, ce n'est pas forcément le développement en série entière de . Qu'elle converge ou non, si on tronque la série de Taylor à l'ordre , on obtient la partie régulière du développement limité de .

[GaBuZoMeu]

Non, j'ai bien écrit ce que je voulais écrire.
Pourquoi poses-tu cette question ?

Par contre, tu voulais sans doute écrire
"T'es sûr que tu ne veux pas plutôt dire ..."

[mathelot]

Bonsoir il faut tester les théorèmes et propriétés avec la fonction exp(-1/x^2) prolongée en x=0 par f(0)=0

[GaBuZoMeu]

Donc si je comprend bien. Un développement limité c'est la meme chose qu'un développement en série mais avec un nombre de n limité ?

Non absolument pas. Ce n'est pas du tout ce que j'ai écrit.
Un développement limité ne fait que donner une approximation locale 'à un certain ordre) de la fonction.
Un développement en série donne la valeur exacte de la fonction comme somme d'une série (je dis bien série) sur tout un intervalle.


Je m'aperçois que j'ai écrit une grosse bêtise plus haut : si la série de Taylor d'un fonction a un rayon de convergence non nul, ce n'est pas pour autant que cette fonction est développable en série entière : la somme de la série de Taylor peut différer de la fonction sur l'intervalle de convergence, comme le montre l'exemple de mathelot ou la série de Taylor de la fonction est nulle sans que celle-ci soit nulle.
Ce qui est vrai, c'est qu'une fonction développable en série entière (en 0) est au voisinage de 0 et que la série entière est sa série de Taylor en 0.

[GaBuZoMeu]

Ça, c'est essentiellement une question de français, non ?