Collaboration efficace

Olympiades mathématiques, énigmes et défis
Vassillia

Collaboration efficace

par Vassillia » 16 Juil 2021, 22:58

Bonjour, je remets mon petit exercice de probabilités dans un autre fil suite aux recommandations judicieuses de catamat

De chez moi, je vais lancer fois mon dé équilibré et de chez lui GaBuZoMeu va lancer fois son dé équilibré. A la fin des lancers, je vais choisir un numéro et il va choisir un numéro mais je ne peux évidemment pas voir les résultats de ses lancers et il ne peut pas voir les miens.
On calcule la somme des valeurs obtenues par son lancer numéro et mon lancer numéro , quelle est la probabilité d'obtenir 12 ?

Intuitivement, on pense ne pas pouvoir faire mieux que 1/36 et pourtant si on se met d'accord avant, on fera mieux et sans pouvoir télépathique mais comment ?

PS : Désolé pour GaBuZoMeu qui se retrouve un peu embarqué dans l'histoire sans avoir rien demandé, évidemment la technique peut fonctionner avec n'importe qui



LeJeu
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Re: Collaboration efficace

par LeJeu » 17 Juil 2021, 23:32

Bonsoir Vasillia

J'ai un début de solution,
je suis parti d'un dé à 2 faces, que j'ai lancé deux fois ( ainsi que mon partenaire)
J'ai donc les 4 cas 11 / 12 / 21/ 22

Je n'ai pas cinquante critères pour choisir n
et je choisi comme nv le rang ou le 1 apparait pour la première fois et s'il ,n'apparait pas je prends 1
ce qui me donne donc 1 / 1 / 2 /1

idem chez mon partenaire

et je fais le carré des 16 cas possibles
1+1 / 1+1 / 2+1 / 2+1
1+1 / 1+1 / 2+2 / 2 +1
1+2 / 2+2 /1+1 / 2+2
1+2 / 1+2 / 2+2 / 2 +2

et de façon mystérieuse , même si un peu attendue ( car l’énoncé l'annonce un peu.) : je trouve 5 cases de somme 4 soit 5/16 au lieu du 1/4 attendu !

A approfondir, nous sommes bien d'accord

Vassillia

Re: Collaboration efficace

par Vassillia » 18 Juil 2021, 00:16

Bonsoir LeJeu,

Décidément tu es très inspiré ce soir, tu as la bonne idée et je la trouvais pourtant pas si facile à trouver !
On remarquera dans ton exemple que P(2)=5/16 également et que 5/16 = 1/4 + 1/16 est-ce un hasard ?
Je ne peux pas en dire beaucoup plus sans spoiler totalement mais le plus difficile est fait.
J'ai bon espoir que le mystère se dissipe d'ici peu grâce à toi donc merci ;)

PS : si tu veux une solution, je peux la donner mais tu es tellement proche que j'hésite.

LeJeu
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Re: Collaboration efficace

par LeJeu » 18 Juil 2021, 00:27

Vassillia,

laisse donc le sujet ouvert ! à l'instant je suis un peu sec sur le sujet ...
mais peut être quelqu'un pourra détailler et conclure ?
en attendant je continue à y réfléchir

Ps - j'avais bien vu que P (2) = P(4) et que c'est c'est P(3) qui s'en trouve dépouillé , sans vraiment savoir quoi en faire !

GaBuZoMeu
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Re: Collaboration efficace

par GaBuZoMeu » 18 Juil 2021, 10:15

Bon dimanche !

Voyons... quelle est la probabilité que le numéro du tirage où le 6 apparaît pour la première fois chez Vassilia soit égal à celui du tirage où le 6 apparaît pour la première fois chez Gabuzomeu ?

Vassillia

Re: Collaboration efficace

par Vassillia » 18 Juil 2021, 12:21

Bonjour,
Excellente question. Visiblement on pouvait tenter de faire l'experience sans même se mettre d'accord avant ;-)
Bon dimanche à tout le monde également.

LeJeu
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Re: Collaboration efficace

par LeJeu » 18 Juil 2021, 18:33

Bonsoir,
je continue sur l'idée d'hier soir, qui à l'époque avait la cote, et comme je ne sais pas faire autrement.., je calcule les probas en faisant le "carré" de tous les cas possibles

On en était que pour n=2 tirages d'un dé à 2 faces (:-)), en annonçant le rang du premier 1 on arrivait à
P(2)=P(4) = 4 -1/16

J'ai donc continué en augmentant le nombre de tirage
pour 3 "on voit" que le nombre de cas favorables de trouver 2 est 4²+2²+1 pour une proba de 1/4+5/64
pour 4 le nb de cas favorable est 8²+4²+2²+1 pour une proba de 1/4 +21/256
pour 5 la proba est 1/4 +85/1024

avec l'aide de google je trouve la facon d'écrire la série 1, 5,21,85 comme (4^(n-1) -1)/3
au final j'ai donc P(2) = P(4) = 1/4 + (4^(n-1) -1)/(3 *2^(2n))

L'expression se simplifie Pn(2) = Pn(4) = 1/4 +1/12 - 4^(-n) /3
et converge donc vers 1/3 à l'infini

Ps Vassilia tu me diras s'il y a quelque chose d'intéressant dans ce résultat ! et si c'était l'objet de ton fil. j'ai l’impression que je dois être un peu à coté..

GaBuZoMeu
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Re: Collaboration efficace

par GaBuZoMeu » 18 Juil 2021, 18:41

LeJeu, je pense que tu sais répondre à cette question :
quelle est la probabilité que le numéro du tirage où le 6 apparaît pour la première fois chez Vassilia soit égal à celui du tirage où le 6 apparaît pour la première fois chez Gabuzomeu ?

Et je pense aussi que tu peux voir le rapport avec une tactique mise au point en collaboration pour avoir plus d'1/36 de proba de réussite.

Petite indication : quelle est la probabilité que le numéro du tirage où le 6 apparaît pour la première fois chez Vassilia soit égal à i, pour i allant de 1 à n ? (mot-clé : loi géométrique).

GaBuZoMeu
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Re: Collaboration efficace

par GaBuZoMeu » 18 Juil 2021, 19:24

Et tu peux remarquer que tu obtiens


Vassillia

Re: Collaboration efficace

par Vassillia » 18 Juil 2021, 20:33

@LeJeu, je te rassure, ton idée a toujours la côte et je suis parfaitement d'accord avec ta probabilité de 1/3. Bravo :-D
Je laisse GaBuZoMeu gérer, je ne doute pas qu'il ait la réponse à laquelle je pense au vu de son message. C'est uniquement pour cela que j'ai dit qu'on n'avait pas forcément besoin de se mettre d'accord, on appliquera tous les 2 la stratégie que tu es en train d'élaborer sans même se concerter.

Vassillia

Re: Collaboration efficace

par Vassillia » 23 Juil 2021, 00:59

Bonsoir LeJeu,

Je ne sais pas si tu as eu le temps de reprendre ton idée, je la présente à ma manière en espérant que tu vois mieux comment généraliser. Toi et moi jouons à ce jeu avec un dé à 2 faces, nous choisissons le rang du premier 1 obtenu mettons pour moi et pour toi
Si alors nous avons obtenu 1 pour la première fois en même temps donc ton tirage vaut 1 et mon tirage vaut 1, la somme vaut bien 2
Si (resp ) alors mon tirage (resp ton tirage ) est un 2 donc la somme de nos tirages sera strictement supérieure à 2

On peut calculer
L'événement est réalisé si toi et moi n'avons eu que des 2 jusqu'au rang
(proba ) et enfin nous avons eu le 1 tant attendu au rang en même temps (proba ) donc

Pour finir

 

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