Dénombrement : voyelle non répétée

[JujuPopo85]

Bonjour,

Je suis en train d'essayer de résoudre une question de dénombrement concernant le nombre de mots à 9 lettres (parmi les 26 lettres de l'alphabet) contenant exactement 4 voyelles distinctes (pas de répétitions possibles de ces voyelles).
Je suis à peu près certain des deux premières étapes :
- D'abord on doit choisir les voyelles que l'on va mettre dans le mot. Il s'agit d'une combinaison de 4 parmi 6.
- On doit ensuite choisir la place de ces voyelles dans le mot, à savoir 4 parmi 9 (les consonnes seront automatiquement placées de cette façon...).
On arrive donc à C(4 ; 6) * C (4 ; 9) pour le moment. (C correspond au symbole des combinaisons...).
Mais après cela j'ai un gros doute !
Je n'arrive pas à comprendre pourquoi l'un des deux raisonnements suivants est bon, et l'autre faux !
Voici les deux raisonnements possibles :
1 - Vu qu'il y a 4 voyelles, et qu'elles peuvent permuter, j'aurai multiplier le résultat précédent par 4 factoriel, et multiplier ensuite le tout par 20 puissance 5 pour choisir les 5 consonnes (elles, elles peuvent se répéter, et l'ordre des consonnes compte....). Le résultat final de cette possibilité est donc : C (4 ; 6) * C (4 ; 9) * 4! * 20^5.
2 - Pour la deuxième possibilité, le résultat est le même que le calcul précédent, sauf que j'enleve le 4 factoriel, à savoir :
C(4 ; 6) * C(4:9) * 20^5.

Quel est le bon calcul, et surtout pourquoi ?

J'en arrive même à me demander si le bon résultat ne serait pas un autre calcul...

Merci par avance pour vos réponses !

PS : je précise que ce qui me met le doute est qu'une prof de maths m'a dit que c'était la seconde possibilité, mais j'ai un gros doute... J'aimerai avoir la confirmation que soit c'est moi qui me trompe ou bien si c'est elle, et surtout pourquoi !

[GaBuZoMeu]

Bonjour,

Pour les voyelles tu peux raisonner ainsi :
Tu commences par choisir l'ensemble des quatre emplacements où tu mettras les voyelles. Combien de choix possibles ?
Ensuite tu choisis la voyelle que tu mets à la première des quatre places. Combien de choix possibles ?
Puis la voyelle que tu mets à la deuxième place. Combien de choix possibles ?
etc.

[JujuPopo85]

Bonjour,

Merci pour ta réponse GaBuZoMeu !

Si je te suis, pour l'ensemble des 4 emplacements où je mettrais les voyelles, il s'agit de C(4 ; 9).
Ensuite, j'ai 4 possibilités pour choisir la 1ere voyelle, 3 pour la seconde, 2 pour la 3eme, puis 1 pour la dernière.
Enfin, il faut aussi choisir les consonnes. Comme il faut placer 5 lettres, et que chacune de ces lettres peut être choisi dans un ensemble à 20 éléments, il faut multiplier le tout par 20^5.

Donc, si je te suis, le résultat final sera :
- C(4 : 6) * C(4 ; 9) *4 * 3 * 2 * 1 * 20^5.

En conclusion, il s'agit de la même réponse que la première possibilité que j'ai évoqué dans mon premier message, c'est ça ?

Merci par avance !

[GaBuZoMeu]

Hum .... Je dirais plutôt : .

Ce qui finit par revenir au même puisque .

Tu n'as pas vu la notion d'arrangement ?

[mathou13]

bonjour,

On choisit 4 voyelle parmis 6 : C(4;6)
On choisit 4 emplacement sur 9 : C(4;9)
On choisit (26-6) non-voyelle sur 5 emplacement : 20^5

c'est donc le second choix

[GaBuZoMeu]

Perdu, mathou13 !
Déterrer des vieux fils pour apporter des réponses fausses, est-ce une bonne idée ?

[lyceen95]

On choisit 4 voyelles .. donc on peut choisir AEIO ou EAIO ou ... plein d'autres choix ;
On choisit 4 emplacements, donc on peut choisir 1234, ou 2134 ou ... plein d'autres choix ;
Limitons nous à ces 2x2=4 débuts de solution :
(AEIO ,1234) --> AEIO
(AEIO ,2134) --> EAIO
(EAIO ,1234) --> EAIO déjà compté
(EAIO ,2134) --> AEIO déjà compté

Sur ce tout petit extrait, on vérifie que ces 2x2=4 solutions ne donnent pas 4 solutions, mais seulement 2.

Donc C(4,6)*C(4,9)*20^5 donne un nombre bien plus grand que la vraie solution.

[GaBuZoMeu]

Non, lyceen95, ça donne un nombre 24 fois plus petit que la bonne solution.

[Vassillia]

Bonjour,
Je ne comprends pas trop pourquoi il y a débat, je vais essayer de faire en sorte qu'on y voit plus clair mais je ne vous promets rien.

@mathou13 il te manque l'ordre à mon avis
On choisit 4 voyelles parmi 6 donc C(6,4)
On choisit 4 emplacements sur 9 donc C(9,4)
Mais comment on les dispose ces 4 voyelles parmi ces 4 emplacements ?
Et bien 4 voyelles possible pour le premier emplacement, 3 voyelles pour le deuxième emplacement, 2 voyelles pour le troisième emplacement et 1 voyelle pour le dernier emplacement donc 4!
On complète par des consonnes donc 20^5

@Lyceen95 Pour moi, ce n'est pas vraiment cela choisir les emplacements tel que présenté juste au dessus, c'est choisir un sous ensemble de 4 éléments parmi {1,2,3,4,5,6,7,8,9}. Le sous ensemble {1,2,3,4} est le même que le sous ensemble {2,1,3,4} mais là où tu as raison et on le voit dans ton exemple, c'est qu'il faut justement les différencier. Pour cette raison, on aurait pu prendre directement des arrangements au lieu des combinaisons c'est à dire A(9,4)= 4! C(9,4)
Bon alors pourquoi, on n'a pas ton cas où les solutions sont déjà comptées ?
Car on a aussi choisi un sous ensemble des voyelles donc {A,E,I,O} est la même chose {E,A,I,O} et cette fois tout va bien, cela évite justement le problème dont tu parles. Si pour une raison bizarre, on décide de les différencier, on aura un arrangement A(6,4)=4! C(6,4). Il faut éliminer les cas redondants et cela revient à diviser par 4! donc à retomber sur C(6,4).

En relisant GaBuZoMeu proposait plutôt de différencier l'ordre dans les voyelles et pas celui dans les emplacements mais cela revient au même.
Bref, on fait comme on veut mais il faut se débrouiller pour avoir
C(6,4) C(9,4) 4! 20^5 = C(6,4) A(9,4) 20^5 = A(6,4) C(9,4) 20^5 = A(6,4) A(9,4) 20^5 / 4!
Les arrangements étant avec ordre et les combinaisons sans ordre mais c'est sans doute un problème difficile car dixit le demandeur, un prof de maths s'est trompé.