Probabilités intuitives ?

[Vassillia]

Bonjour, je reviens aux valeurs sures, les probas

Exercice 1:
Je vais lancer 2021 fois une pièce équilibrée et mon adversaire va lancer 2020 fois une pièce équilibrée.
Intuitivement la probabilité que j'obtienne plus de "face" que lui est supérieure à 1/2.

Exercice 2:
Je fais du tir sur cible. La première fois je touche la cible, la seconde fois je loupe la cible. A partir de la troisième fois la probabilité que je touche la cible au kème essai est assez logiquement égale au pourcentage de succès sur mes k-1 premiers essais. Je vais tirer 2021 fois en tout.
Intuitivement la probabilité de toucher la cible exactement 1010 fois est supérieure à la probabilité de toucher la cible exactement 2020 fois.

Exercice 3:
J'ai une urne qui contient 2021 boules blanches et noires où toutes les configurations x boules blanches et 2021-x boules noires sont équiprobables. Je fais 2021 tirages avec remise et à chaque fois j'ai une boule blanche.
Intuitivement, la probabilité que l'urne ne contienne que des boules blanches est proche de 1.

Alors que pensez vous de l'intuition ?
N'hésitez pas à rajouter d'autres exercices du même genre

[Vassillia]

Bon, notre nemesis des mathématiciens veut participer, faisons le participer, cela devrait tranquilliser tout le monde sur le fait que ce n'est pas grave de faire des erreurs tant qu'on en tire quelque chose de constructif ensuite.

L'exercice 3 est un peu plus sioux. La probabilité qu'il n'y ait que des boules blanches dans l'urne presque nulle. Donc la probabilité de ne tirer que des boules blanches ne peut être que presque nulle. J'appelle "presque nulle la valeur 1/2^2021.

Pas vraiment, les configurations x boules blanches et 2021-x boules noires sont équiprobables donc concernant la composition de l'urne P(0 blanche + 2021 noires) = P(1 blanche + 2020 noires) = ... = P(2020 blanches + 1 noire) = P(2021 blanches + 0 noire) = 1/2022.

Je tire avec remise 2021 boules blanches, j'en suis sure, c'est le résultat de mon expérience. Déjà on peut éliminer le cas 0 blanche + 2021 noires mais plus généralement sachant ce résultat, je n'ai plus du tout équiprobabilité. P(2021 blanches + 0 noire | tirage avec remise 2021 blanches) a augmenté forcément mais au point d'être proche de 1 ou pas ?

A vous de participer, vous pouvez au moins dire si selon vous et selon les cas l'intuition est correcte ou pas, c'est un peu l'esprit de ce fil.

Edit : merci pour le fou rire à notre nemesis, pas de chance, c'est moi qui écris l'énoncé ou qui remplis l'urne donc c'est moi qui décide ce qui est équiprobable Je fais un rand()%2022 et je mets ce nombre obtenu de boules blanches et le reste de boules noires

[catamat]

Bonjour

Bon je me lance.... enfin je commence doucement....

Pour l'ex 1, si on essaye avec des valeurs moins grandes.
Le premier disons A jette 4 pièces et le second, soit B, en jette 3.
Cela parait assez intuitif de penser que A a une proba supérieure à 0.5 d'avoir plus de "face" que B.
Appelons X le nombre de "face" de A et Y celui de B.
Si X= k , Y<=k-1.
k pouvant prendre les valeurs 1,2,3 ou 4.
p(X=k)=

p(Y<=k-1)=

On doit bien sûr multiplier les deux proba et sommer de k =1 à 4.

Pour k=1, on trouve 4/16x1/8=4/128
Pour k= 2, 6x(1+3)/128=24/128
Pour k=3, 4x(1+3+3)=28/128
Pour k=4, 1x(1+3+3+1)/128=8/128

Soit un total de 64/128 ou encore 1/2.

Donc sur cet exemple la proba est 0.5, reste à généraliser....

[Vassillia]

Merci catamat d'avoir commencé et résolu en grande partie l'exercice 1. Tu commences fort car tu as raison pour le 1/2 et on peut généraliser, l'intuition était mauvaise conseillère !

Si tu veux une idée de démonstration plus facile pour généraliser, je te suggère de faire du séquentiel : comprendre par là utiliser la formule des probabilités totales à partir d'un système complet d'événement. Si je ne suis pas claire, dis moi si tu veux une démonstration explicite.

[GaBuZoMeu]

Bonjour,

Pour l'exo 1 on peut penser à une bijection : par un coup de baguette magique, on transforme tous les piles en faces et tous les faces en piles (pour les 4041 lancers). On échange ainsi une situation ou j'ai plus de faces que mon adversaire avec une situation où il en a au moins autant que moi, et lycée de Versailles.

[Vassillia]

Merci GaBuZoMeu, l'idée que je suggérais à Catamat était de faire la même bijection que toi pour les 4040 premiers lancers et de regarder uniquement ce qui se passe pour mon dernier lancer sachant supérieur ou inférieur ou égalité. Je suis donc tout à fait d'accord même si j'ai cherché l'expression "et Lycée de Versailles" dans le dictionnaire

Est-ce que pour les 2 autres exercices, notre intuition initiale est meilleure ? Évidemment vous vous méfiez peut-être un peu maintenant mais c'était mon but alors...

[GaBuZoMeu]

Bonjour,

Pour l'exercice 3, "l'intuition" est aussi très discutable : s'il y a une boule noire dans l'urne, la probabilité de ne tirer que des blanches est , ce qui n'est pas très loin de . Donc, même s'il y a autant de chances d'avoir 2021 blanches dans l'urne que 2020 d'après l'énoncé, la probabilité qu'il y en ait 2021 sachant qu'on n'a tiré que des blanches ne peut pas dépasser e/(e+1), à la louche, sensiblement plus petit que 1.

[Vassillia]

Bonjour,

Tu es gentil, moi je dirai que l'intuition est très mauvaise. D'ailleurs juste par curiosité, est-ce que tu trouves toi aussi que ce genre de résultat est contre-intuitif ou pas ? Perso, quand j'avais découvert ces exercices pendant mes études, cela m'avait marqué, je ne sais pas si cela me ferait toujours le même effet maintenant.

En tout cas, il n'en reste plus qu'un !

[GaBuZoMeu]

Je dirais qu'il y a des choses en proba que je trouve plus contre-intuitives.
Un truc dont je ne me souviens plus très bien et qui, je crois, a été discuté sur ce forum.
On regarde le temps d'attente pour voir apparaître une configuration donnée de longueur 3 (genre PFP) dans une suite de tirages à pile ou face) ; on trouve deux configurations pour qui l'espérance du temps d'attente est la même, mais avec une des deux qui a nettement plus de chances d'apparaître en premier dans une suite.

[Vassillia]

Tu parles de ça enigmes/pile-face-t230187.html ? Marrant moi, ça ne m'a jamais dérangé mais je l'ai découvert beaucoup plus tard, peut-être que j'étais déjà desensibilisée.

PS : Je dois y aller, à ce soir. C'est malin, je vais penser à cette histoire de mikados au lieu d'être concentrée.

[GaBuZoMeu]

Comme quoi, l'intuition qu'on peut avoir dépend beaucoup des expériences qu'on a eues précédemment.

[Vassillia]

Bonjour, si certains cherchent encore l'exercice 2, on pourra s'intéresser à la probabilité de tirs réussis sur les premiers tirs. Raisonnement séquentiel recommandé.

Par rapport à l’expérience dont parlait GaBuZoMeu, je rajoute un exercice 4 assez difficile à trouver sans expérience justement pourtant la solution à laquelle je pense est assez facile à comprendre.
De chez moi, je vais lancer fois mon dé équilibré et de chez lui il va lancer fois son dé équilibré. A la fin des lancers, je vais choisir un numéro et il va choisir un numéro mais je ne peux évidemment pas voir les résultats de ses lancers et il ne peut pas voir les miens.
On calcule la somme des valeurs obtenues par son lancer numéro et mon lancer numéro , quelle est la probabilité d'obtenir 12 ?

Intuitivement, on pense ne pas pouvoir faire mieux que 1/36 et pourtant si on se met d'accord avant, on fera mieux et sans pouvoir télépathique mais comment ?

[catamat]

Bonjour Vassilia
Oui j'ai cherché le 2 et je rédige la (ma) solution... ça prend du temps

[Vassillia]

Bon courage alors catamat, je ne suis pas pressée mais je lirai avec plaisir ta solution !

[catamat]

Bonjour

Bon il reste l'exercice 2...
J'ai commencé avec de petites valeurs du nombre de tirs et ensuite je généralise par récurrence.
Je vais essayer de démontrer que si on appelle X le nombre de tirs réussis

les p(X=k) sont tous égaux pour les valeurs de k possibles à obtenir.

Sur la figure ci-dessous, on a exécuté 4 tirs, en vert les réussis en rouge les ratés.



On commence après les deux tirs déjà effectués.
Les nombres sur les noeuds indiquent le nombre de tirs réussis à cette étape.

Il permet de calculer la proba de réussite du tir suivant.
Par ex, si on a 2 tirs réussis sur les 3 premiers tirs la proba de réussite du 4ème tir est 2/3.

Donc après le 4ème tir
p(X=3)=1/3
p(X=2)=1/6+1/6=1/3
p(X=1)=1/3

On peut remarquer qu'on trouve un début de triangle de Pascal :
1 branche à 3 succès
2 branches à 2 succès
1 branche à 1 succès.

Passons au cas général :

Si on note n le nombre de tirs déjà effectués.
On cherche donc les probabilités concernant le (n+1)ème tir.

X qui est donc le nombre de succés après (n+1) tirs prend les valeurs de 1 à n.

On cherche à démontrer, par récurrence, que p(X=k)=1/n pour k=1 à n.
On démontrera en même temps que le nombre de branches de l'arbre comprenant k succés est .

On a déjà vu que c'est vrai pour n égal à 3.

Démontrons l'hérédité
Hypothèse de récurrence :
Soit n un entier supérieur à 3, on a effectué n tir.
On suppose que pour tout entier k compris entre 1 et n on a branches de l'arbre qui comportent k succès ce qui donne p(X=k)=1/n pour le (n+1)ème tir.


On va démontrer que :
pour tout entier k compris entre 1 et (n+1) on a branches de l'arbre qui comportent k succès ce qui donne p(X=k)=1/(n+1) pour le (n+2)eme tir.



Nombre de branches menant à k succès :
Soit k compris entre 2 et n+1
Sur la portion d'arbre ci-dessus il y a branches donnant k succès au cours des (n+1) premiers tirs et branches donnant (k-1) succès.
Il y a donc soit donnant k succès lors de (n+2) ème tir.
Cas particulier pour k=1 il y a une seule branche ce qui correspond bien à branche.

Calcul de p(X=k)
Soit k compris entre 2 et n+1
p(X=k)=
Cas particulier k=1
p(X=k)=

Conclusion : on a la même proba d'avoir 2020 succès que d'en avoir 1010.

Ps: désolé pour les éventuelles erreurs de frappe ou les maladresses de notation

[Vassillia]

Bien joué catamat, on trouve effectivement que sur 2021 tirs, le nombre de tirs réussis suit une loi uniforme avec pour support 1;2...;2020 (ceux qui me connaissent savent pourquoi j'ai pris un contexte tir sur cible )
Un grand merci pour ta démonstration, rien à redire au contraire, j'aurai eu la flemme de faire aussi détaillé que toi, on a bien fait d'attendre

Il reste éventuellement le quatrième exercice que j'ai rajouté, il est nettement plus difficile à résoudre que les précédents si on ne connait pas l'astuce par l'expérience, je le laisse ici ou je fais un autre fil ?

[catamat]

Merci Vassilia pour ces énoncés que je ne connaissais pas du tout....
Cela a bien occupé ces quelques journées maussades

Bon maintenant le temps s'est mis au beau je ne vais pas m'y remettre tout de suite !
Un autre fil serait peut être préférable pour intéresser de nouveaux lecteurs.