Continuité d'une fonction définie par une intégrale

[Romanouch]

Bonjour,

Pour a et b deux réels avec a<b, la fonction F définie sur par est-elle continue sur ?

Je pense que non (problème en x=0) mais en lisant ce cours (http://exo7.emath.fr/cours/ch_intpar.pdf) et en appliquant le théorème 1 de continuité de la page 1, j'ai l'impression de pouvoir prouver qu'elle est continue et ça me perturbe.

Où est mon erreur svp?

Bonne journée.

[Vassillia]

Bonjour,
Tu as raison pour le théorème.
Ce qui te dérange, je présume c'est que si
La limite est indéterminée lorsque tend vers 0, pour lever l'indétermination, tu peux essayer de faire un développement limité si tu connais cette notion.

[Lunns]

Bonjour,

Pourquoi ne pas utiliser le théorème de continuité des intégrales à paramètres ?

[Romanouch]

Donc la limite de F(x) quand x tend vers 0 vaut b-a, qui est aussi la valeur pour F(0). Donc F est prolongeable par continuité en 0.
C'est bien ça?

[Vassillia]

Oui mais même pas besoin de prolonger car par définition :
si et si .
Tu viens de démontrer la continuité de , le théorème dont tu parlais permet de le faire sans avoir besoin d'étudier les limites. Je t'ai proposé cette méthode pour que tu réalises que ce n'est pas contradictoire.

[Romanouch]

J'ai compris.

Merci beaucoup