Topologie; exemple

[Xavier63]

Qui peut me donner des contre exemples pour démontrer que les propositions suivantes sont FAUSSE :

1) l'image d'un ouvert par une application continue est ouverte
2) l'image d'un fermé par une application continue est fermé
3) Une partie est compacte ssi elle est fermée et bornée
4) une partie de F est fermée ssi si toutes suite de points de F converge dans F

(J'ai un niveau DUT en maths)

Merci

[hdci]

Bonjour,
1) Pour l'image d'un ouvert qui n'est pas un ouvert : soit f la fonction nulle, alors qui n'est pas un ouvert.

2) Pour l'image d'un fermé qui n'est pas un fermé, soit f la fonction inverse. Alors qui n'est évidemment pas un fermé.

3) Pour la partie compacte, le cas "fermé borné" n'est vrai que dans les espaces vectoriels normés de dimension finie. En particulier en dimension infinie, la boule unité fermée (donc bornée) n'est pas compacte.

4) Pour la 4 : je n'ai pas compris votre formulation : vous parlez d'une partie de F et de suite de points de F qui converge dans F ? Vouliez-vous dire "une partie F est fermée" ? Alors, vous pouvez certainement construire une suite dans l'intervalle qui ne converge pas : la suite qui alterne 0 et 1...

[Xavier63]

Merci

En topologie selon le livre que je lis , il est dit que :

1) l'image réciproque d'un ouvert par une application continue est ouverte
2) l'image réciproque d'un fermé par une application continue est fermé
3) Une partie compacte est fermée

Ce qui me chiffonne c'est que l'on peut faire le même raisonnement et prouver que 1) et 2) sont faux !

Je pensais qu'une partie est compacte ssi elle est fermée et bornée ! sur wiki on trouve : tout segment de ℝ est compact et, plus généralement, que les compacts de ℝ^n sont les fermés bornés.

[GaBuZoMeu]

1) l'image réciproque d'un ouvert par une application continue est ouverte
2) l'image réciproque d'un fermé par une application continue est fermé
Ce qui me chiffonne c'est que l'on peut faire le même raisonnement et prouver que 1) et 2) sont faux !

Absolument pas. Les contre-exemples donnés par hdci pours l'image directe ne marchent pas du tout pour l'image réciproque. Il est bien vrai que l'image réciproque d'un ouvert (resp. fermé) par une application continue est ouverte (resp. fermée).

Pour ce qui est de :

une partie de F est fermée ssi si toutes suite de points de F converge dans F

Tu voulais dire "une partie F est fermée ssi toute suite d'éléments de F qui converge a sa limite dans F" ? Cette équivalence est fausse en général, mais elle est vraie pour les espaces métriques.

Quel est le livre que tu lis ?

[Xavier63]

En ce moment MethodiX

[GaBuZoMeu]

Parle-t-il de topologie générale ou uniquement de topologie des espaces métriques ?

S'il parle de topologie générale, tu peux considérer comme espace topologique l'ensemble des réels muni de la topologie dont les ouverts sont l'ensemble vide et les complémentaires d'ensembles (au plus) dénombrables (autrement dit, les fermés sont et les parties (au plus) dénombrables).
Quelles sont les suites convergentes dans cet espace ?
Quels sont les parties F telles que toute suite convergente d'éléments de F converge dans F ? Est-ce qu'une telle partie est toujours fermée ?

[hdci]

Au passage, je vois que mes accolades autour du 0 ne sont pas sorties dans mon premier exemple ; j'ai modifié mon post en conséquence.

En topologie selon le livre que je lis , il est dit que :

1) l'image réciproque d'un ouvert par une application continue est ouverte
[...]
Ce qui me chiffonne c'est que l'on peut faire le même raisonnement et prouver que 1) et 2) sont faux !

Comme le dit GaBuZoMeu, c'est faux, mais revenons sur la définition "usuelle" de la continuité d'une fonction réelle : une fonction est continue si elle est continue en tout et en cela s'écrit :



Or :

• 
• et

Pour simplifier l'écriture, je note

Donc finalement, on a exprimé que ,
donc que

L'image réciproque de l'ouvert centré en contient un ouvert centré en donc est un voisinage de .

Appelons alors et pour chacun des , en considérant suffisamment petit pour que on aboutit par le même raisonnement au fait que contient un voisinage de chacun des . Ainsi est voisinage de chacun de ses points, par conséquent c'est un ouvert.

Ceci étant vrai pour tout et pour tout , on en déduit que l'image réciproque de tout ouvert borné est un ouvert. Comme les ouverts de sont engendrés par les intervalles ouverts bornés, on arrive bien à la conclusion de la continuité de basée sur l'ouverture de l'image réciproque de tout ouvert.

(Evidemment, pour simplifier, j'ai fait un peu l'impasse sur le cas où n'est définie que sur une partie de et sur le cas où n'est pas surjective. Egalement, il faudrait montrer la réciproque, c-à-d si l'image réciproque de tout ouvert est un ouvert alors on a bien le "quel que soit epsilon etc.", mais ça c'est plus simple).