Trigonométrie mouvement curviligne

[missionimpossible]

Bonjour à tous,

Voici ma question:

Pour décrire une translation, il existe une fonction et il en est de même pour décrire une rotation. Il est possible de les combiner pour décrire un mouvement complexe. Par exemple, une rotation à vitesse constante autour d'un centre mobile se déplaçant sur une ligne droite à vitesse constante sera: fonction de rotation + fonction de translation.

Ma question est la suivante: comment peut-on inverser le processus pour non pas déterminer les coordonnées d'après la fonction mais la fonction d'après les coordonnées dans l'exemple suivant:

Dans un système où toutes les vitesses sont constantes, comment trouver la fonction décrivant la trajectoire du sommet d'une tour bâtie sur la lune en supposant qu'elle tourne sur elle-même et autour de la terre qui tourne autour du soleil qui lui suivrait une trajectoire linéaire? Si on ajoute une rotation, p.ex un oiseau tournant autour du sommet de la tour, comment cela modifierait le calcul?

Une réponse pour un cas hypothétique à 2 dimensions et un cas à 3 dimensions me serait très utile.

L'objectif est de déterminer tous les éléments de l'équation: nombre, centre et longueur des axes ainsi que les positions à un instant t.

[GaBuZoMeu]

Bonjour,

Tu as un mobile qui as un certain mouvement par rapport à un autre mobile etc. ... qui a un mouvement par rapport à une base fixe. C'est de la composition de mouvements. Tu attaches un repère à chaque mobile et à la base, et tu décris les mouvements relatifs au moyen de matrices de déplacements (dépendant du temps). À la fin, le passage du repère terminal au repère de base est donné par le produit des matrices.

[missionimpossible]

Bonjour,

Merci beaucoup pour la réponse. Malheureusement, bien que j'apprenne et comprenne facilement, j'ai un manque de connaissances en maths qui m'handicape beaucoup et je n'ai malheureusement pas le temps de combler ces lacunes actuellement. Par exemple, j'ai trouvé les fonctions trigonométriques de translation et de rotation par tatonnement. Je n'aime pas tellement ce procédé car les résultats trigonométriques sont à décimales infinies qui posent problème car selon l'ordinateur ou le programme utilisé, elles sont arrondies différemment et souvent même, on n'a pas le même résultat en passant par le sinus ou le cosinus à cause de l'obligation d'arrondir le résultat, du coup l'ordinateur va considérer que des résultats sont différents alors qu'ils sont seulement arrondis différemment. Il est possible d'intervenir sur la façon d'arrondir et de comparer les résultats mais une approche plus rigoureuse me semble préférable, raison pour laquelle, je préfère également le système des matrices. Le problème, c'est que je n'y connais rien.

Dans ta réponse, tu dis qu'il faudrait attacher un repère à chaque mobile et à la base mais justement, comme je l'ai écrit, je souhaite inverser le processus. Je souhaite entrer uniquement les coordonnées du mobile au bout de la chaîne dans un programme que j'écris et que celui-ci décompose le mouvement pour décrire toute la chaîne.

Un autre exemple en 2d te permettra de mieux comprendre ce que je veux: J'ai une horloge avec une aiguille des secondes (n°1) au bout de laquelle, je fixe une aiguille (n°2) qui tourne aussi et une troisième (n°3) qui tourne aussi et qui est fixée à l'extrémité de la n°2. En entrant UNIQUEMENT les coordonnées d'un cycle complet ou pas de la pointe de l'aiguille n°3, je souhaite que mon programme me donne la réponse suivante:

Le système est composé de 3 aiguilles:

n°1 mesure 10 cm, son centre de rotation est à son extrêmité inférieure,
n°2 mesure 5cm, son centre de rotation est à la pointe de la n°1,
n°3 mesure 15cm, son centre de rotation est à la pointe de la n°2,
la fonction décrivant la trajectoire de la pointe de la n°3 est ....

Le but est de connaitre la fonction décrivant la forme intérieure d'un cadre qui cernerait le système en épousant parfaitement la trajectoire de l'aiguille n°3, un peu comme un guide.

Si ta réponse permet de faire cela et si tu as le temps, pourrais-tu me donner un exemple s'il te plait?

[GaBuZoMeu]

Je ne comprends pas bien ton but.
Dans l'exemple que tu décris, tu as les coordonnées de l'extrémité de l'aiguille 3 en fonction du temps ? Mais alors que veut dire "la fonction décrivant la forme intérieure d'un cadre qui cernerait le système en épousant parfaitement la trajectoire de l'aiguille n°3, un peu comme un guide." ? ??
Pourrais-tu spécifier ton problème plus clairement ?

Tu voudrais, connaissant la trajectoire du point du bout de chaîne, reconstituer la chaîne cinématique ? Ça me semble assez clairement déraisonnable, plusieurs chaînes cinématiques peuvent donner la même trajectoire.

[missionimpossible]

Oui, en effet, c'est peu clair. En fait l'idée serait, comme dans une chaîne de production industrielle, de définir la forme de guides suivant un mouvement. Cette forme de cadre ou de guide prédéfinie permettrait par exemple de prévoir des espaces pour éviter que des boulons ou des vis d'un mécanisme heurtent un obstacle ou que deux mobiles ne se heurtent. Tout est basé sur le temps, effectivement.

Pour la question de chaines distinctes au résultat similaire, c'est vrai que cela peut exister mais pratiquement, c'est rarement le cas, à moins que je me trompe. Il faut aussi considérer que les mouvements qui m'intéressent ne sont composés que de translations et de rotations à vitesse constante.

Idéalement, je voudrais que mon programme soit capable de trouver le moyen optimal de concevoir un mécanisme en tenant compte de diverses contraintes, un peu comme si je lui demandais de concevoir automatiquement un mécanisme d'horlogerie en indiquant où seraient les obstacles et quelle trajectoire je souhaite pour le mobile situé "au bout" de la chaîne. C'est ici que la possibilité d'avoir plusieurs caînes cinématiques devient intéressante justement.

Je sais que tout ça parait très compliqué et insurmontable mais je souhaite aller le plus loin possible pas à pas. Disons que dans un premier temps, si je peux obtenir la fonction décrivant la trajectoire du sommet de l'aiguille n°3 à partir des coordonnées uniquement, ça me conviendrait déjà.

[hdci]

Bonjour,
Quoi qu'il en soit, l'ordinateur arrondira tous les calculs de flottants dès lors que ce ne sont pas des (sommes de) puissance de 2. Même si en décimal le résultat est exact

Ainsi, faire ajouter dix fois de suite 0.1 donne 1, en décimale, mais avec un ordinateur, cela fera 0,99999...
Ainsi sur mon mac avec Python, 1-(0.1+0.1+0.1+0.1+0.1+0.1+0.1+0.1+0.1-0.1)= 1.11022e-16

Pour pallier à ce problème quand je programmais en C++ j'avais une macro ESTZERO qui renvoyait true si l'écart était inférieur à

[missionimpossible]

C'est vrai, j'ai malheureusement pu le constater en programmant avec plus de dix languages différents et les résultats ne sont jamais les mêmes. Dans le cas présent, je travaille avec Python sur le programme Blender et personne n'a pensé semble-t-il à créer un module qui donnerait la fonction d'une trajectoire cyclique et uniforme... ça parait pourtant évident en matière d'animation et de création de jeux...

[GaBuZoMeu]

un module qui donnerait la fonction d'une trajectoire cyclique et uniforme...

Mais qu'est-ce que tu veux dire ???

Ètant donné une chaîne cinématique, on peut bien sûr donner les coordonnées du bout de la chaîne en fonction des "variables articulaires", pour employer le langage de la cinématique des robots (angle pour les articulations rotule et longueur pour les articulations prismatiques).
Il y a aussi moyen d'ajuster la géométrie d'un mécanisme pour que le bout (l'effecteur) passe par un certain nombre de points fixés.
Pourrais-tu entièrement spécifier le problème sur un exemple simple ?

[GaBuZoMeu]

Exemple de truc que je ne comprends pas :

obtenir la fonction décrivant la trajectoire du sommet de l'aiguille n°3 à partir des coordonnées uniquement, ça me conviendrait déjà.

Avoir les coordonnées en fonction du temps, c'est bien ça avoir la trajectoire. Alors, que veux-tu exactement ?

[missionimpossible]

Désolé, je ne connais pas bien les terme scientifiques en math et physique, je vais donc expliquer:

"un module qui donnerait la fonction d'une trajectoire cyclique et uniforme..."

Par exemple, je clique sur une courbe représentant le chemin d'un objet en mouvement dans un programme d'animation 3d comme Blender et dans un coin de fenêtre s'affichent:

- la courbe de x en fonction de t et sa fonction,
- la courbe de y en fonction de t et sa fonction,
- la courbe de z en fonction de t et sa fonction,
- la fonction de la courbe sélectionnée.

Idéalement, je souhaite avoir encore les données suivantes:

- nombre d'axes liés composant le chemin de l'extrêmité de la chaîne,
- longueur de chaque axes,
- fonction du chemin de chaque axe** selon les coordonnées de position relative*
(* en considérant que chaque centre de rotation des axes respectifs est à (0,0))
(**de son centre de rotation (aiguille n°1) au centre de rotation de l'axe lié (n°2)),

en hiérarchisant la liste des axes selon sa position dans la chaîne.


Dans mon cas, il faut considérer que:

- les trois premières courbes f(t) sont des sinusoïdales,
- la vitesse du mobile ne varie pas (uniforme),
- le chemin parcouru par l'objet est composée uniquement de translations linéaires et de rotations,
- en tout point du chemin, la fonction est la même*.

* il ne s'agit pas d'une fonction "segmentée"; c'est-à-dire une fonction composée d'une "sous-fonction" de telle valeur de t à telle valeur de t puis d'une autre "sous-fonction" de telle à telle valeur.
P.ex: f(t)=t+1 si t est compris entre 0 et 10 et f(t)=t+2 si t et compris entre 11 et 20.

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Pour le "cadre" ou "guide" ou "enveloppe", cela représente l'espace occupé par l'objet tout au long du chemin; par exemple pour une bille roulant le long d'une ligne droite, il s'agirait d'un tube droit de même diamètre. On peut dire dans le cas d'un frottement doux que le cylindre d'un moteur est l'enveloppe du chemin du piston (mouvement cyclique).

Le chaînon manquant à la réalisation de cet exemple (enveloppe) est l'obtention des fonctions à partir des coordonnées spaciales (x,y,z) du chemin parcouru cycliquement (automate); ce qui ne devrait pas être très compliqué puisque le mouvement est uniquement une translation linéaire, une rotation autour d'un point ou une exécution des deux (fonction de translation linéaire + fonction de rotation). Idéalement, la fonction décrivant le chemin de l'objet (un point) devrait avoir la forme suivante: " fonction du mouvement est ( fonction de translation linéaire + fonction de rotation ) " pour mettre chaque transformation en évidence.

[GaBuZoMeu]

Désolé, mais je ne comprends toujours pas bien le but que tu recherches.

Pour mieux spécifier les choses, peux-tu donner un exemple de :

- la courbe de x en fonction de t et sa fonction,
- la courbe de y en fonction de t et sa fonction,
- la courbe de z en fonction de t et sa fonction,
- la fonction de la courbe sélectionnée.

Ensuite, si tu as la paramétrisation de la trajectoire en fonction de t, tu n'as pas besoin de décomposer le mouvement pour calculer ce que tu appelles l'enveloppe - si je ne me trompe pas sur ce que tu veux dire.

[missionimpossible]

- la courbe de x en fonction de t et sa fonction = position spaciale sur l'axe des x en fonction du temps
- la courbe de y en fonction de t et sa fonction = position spaciale sur l'axe des y en fonction du temps
- la courbe de z en fonction de t et sa fonction = position spaciale sur l'axe des z en fonction du temps
- la fonction de la courbe sélectionnée = fonction décrivant le chemin du mobile

Je souhaite connaitre la méthode pour obtenir les fonctions décrivant ces courbes d'après les coordonnées du chemin, rien de plus, rien de moins

[GaBuZoMeu]

Je t'ai demandé UN EXEMPLE CONCRET. Pourquoi ne m'en donnes-tu pas ?

[missionimpossible]

ok, je ferai un exemple de courbe représentant un chemin demain et je le posterai ici.

[missionimpossible]

Voici les coordonnées d'un cas concret:

(t,x,y,z)
(0;0.00000;5.00000;6.50000)
(1;1.26102;5.78755;6.63576)
(2;2.76177;6.15999;6.96129)
(3;4.65740;6.14952;7.25079)
(4;6.94694;5.81777;7.19388)
(5;9.43488;5.26337;6.49263)
(6;11.75000;4.62500;4.97965)
(7;13.43647;4.07581;2.72053)
(8;14.10481;3.80677;0.05291)
(9;13.59619;4.00000;-2.47487)
(10;12.09092;4.79630;-4.26554)

[GaBuZoMeu]

Donc, en fait, tu disposes de la position du mobile pour une suite de temps .
Tu peux faire une hypothèse sur le type de mouvement (par exemple, composition de deux rotations uniformes), et ajuster les paramètres pour "fitter" au mieux les points que tu connais. Dans l'exemple de la composition de deux rotations uniformes, chaque rotation dépend de cinq paramètres (quatre pour l'axe, un pour la vitesse de rotation) ; tu cherches les paramètres qui minimisent la somme des carrés des distances entre les points donnés et les points calculés, et tu vois si c'est acceptable.

[missionimpossible]

Merci pour ta réponse. Il y aurait-il la possibilité de décomposer le mouvement par équation? Par exemple "soustraire" toutes les translations (sur chaque axe) pour ensuite n'avoir que des rotations que l'on pourrait déduire en considérant qu'elles ne sont plus transformées par les translations (donc des cercles parfaits)? Je suppose que Fourrier a sûrement trouvé une méthode pour faire ça.

Ce que je souhaite aussi savoir, c'est s'il est possible de trouver les fonctions périodiques sur un segment de courbe donc sans connaître initialement l'amplitude et la longueur.

[GaBuZoMeu]

Comment veux-tu faire pour "soustraire" les translations ? Par exemple, si tu as une translation sur un axe qui tourne ?
Par ailleurs, si tu as des rotations avec des vitesses angulaires qui ne sont pas commensurables, adieu la périodicité !

[missionimpossible]

Merci beaucoup pour toutes ces réponses qui m'ont permis de résoudre le problème. C'est très aimable.