Obtenir le conjugué d'un nombre complexe

[Vassillia]

Rebonjour Lazare,
Je peux te proposer lorsque différent de 0 mais je présume que tu ne vas pas être content parceque j'utilise le module.
A un moment ou un autre, il va bien falloir séparer a et b sinon on risque de tourner en rond.

[Vassillia]

Oui et c'est pour ça que je ne suis pas sure que ma réponse va te satisfaire mais je n'ai pas mieux.

[Black Jack]

Bonjour,

Pourquoi chercher des problèmes où il n'y en a pas ?

si z =a+i.b
alors

Et si on donne z par son module |z| et un argument (phi)
a = |z|*cos(phi) et b = |z|.sin(phi)
donc

[Vassillia]

Bonjour,
Le problème de Lazare est de se servir du conjugué pour séparer Re(z) et Im(z).
Voir ce fil superieur/fonction-qui-separe-les-reels-les-imaginaires-t232359.html
Si je me sers de Re(z) et Im(z) pour définir le conjugué, j'ai l'impression que je ne réponds pas à sa question, mais je suis bien d'accord qu'on tourne en rond car je m'en sers indirectement via le module.

[hdci]

J'ai l'impression également que lazare cherche à exprimer cette notion de conjugué à l'aide d'une formule "usuelle réelle", c'est-à-dire une formule qui n'utilise que l'indéterminée complexe et les opérateurs arithmétiques classiques +, x, etc.) mais cela est tout simplement impossible.

La formule indiquée par Vassilia pourrait être celle recherchée (pour non nul), mais alors quelle est la "formule" pour exprimée uniquement à l'aide de ...

Un cran plus loin , mais à nouveau comment exprimer en fonction de ... cf. sur le fil https://www.maths-forum.com/superieur/fonction-qui-separe-les-reels-les-imaginaires-t232359.html où sa dernière remarque est

L'interet pour moi est d'essayer de trouver comment résoudres des probleme en utilisant le moin de types fonction et d'éléments inventés possible.

Où je pense d'ailleurs qu'il faut lire "l'objectif" au lieu de "l'intérêt", mais clairement lazare semble chercher à exprimer toutes ces notions à l'aide des opérateurs usuels de l'ensemble des réels, "pour revenir à ce qu'il connaît bien".
Sauf que ce n'est tout simplement pas possible car avec les complexes il y a une dimension de plus (on parle du plan complexe et de la droite réelle) et les seuls opérateurs réels ne suffisent plus pour décrire par exemple la symétrie par rapport aux axes (vu que cette symétrie axiale n'existe pas dans les réels...) ; le conjugué n'étant somme toute qu'une symétrie par rapport à l'axe des abscisses dans "le plan complexe".

N'oublions pas ce que lazare a écrit en introduction du sujet https://www.maths-forum.com/cafe-mathematique/racine-nombre-positif-t232363.html :

Une question que je me pose sur un truc me semble mystérieux ou illogique dans les math tel qu'on me les a enseigné (je me suis arrêté au lycée.)

En fonction de la filière suivie, il a tout juste effleuré les complexes, ou même pas du tout vus. Il est logique qu'il se pose des questions qui peuvent sembler triviales ou absurdes pour le niveau "supérieur".

[Vassillia]

Tout à fait d'accord avec toi hdci.
Même si je sais que l'objectif de Lazare est inatteignable, je peux comprendre qu'il se pose ce genre de question. A mon avis, c'est instinctif devant quelque chose de nouveau de vouloir se ramener à quelque chose de connu, il faut un temps d'adaptation avant de l'intégrer.
Bref, n’hésite pas à poser d'autres questions Lazare tant que tu tiens compte des réponses.