Racine d'un nombre positif

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hdci
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Re: racine d'un nombre positif

par hdci » 02 Juil 2021, 00:37

Bonjour,

La raison logique est la suivante : c'est une définition.
"La racine carrée d'un nombre positif est le nombre POSITIF dont le carré est .

Il y a effectivement deux nombres opposés qui élevés au carré donnent le même résultat, "il a été décidé" que celui qui est positif s'appelle "racine carrée".

Cela permet de parler sans ambigüité de "la racine carrée de 4". Par contre on dit bien que 2 et -2 sont les racines du polynôme , ou les solutions de l'équation

lazare a écrit:On dit que la fonction racine carré est la réciproque de la fonction carrée (sur wikipédia).

Si Wikipedia ne dit que cela, c'est faux, Wikipedia se trompe (ce ne serait pas la première fois). Si par contre Wikipédia précise "c'est la fonction réciproque de la fonction carrée restreinte à ", c'est vrai.
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Re: racine d'un nombre positif

par hdci » 02 Juil 2021, 09:07

lazare a écrit:Du coup c'est les nombres imaginaires qui serviraient pour switcher entre les deux types de réciproque...

Je n'ai pas compris ce que vous vouliez dire

lazare a écrit:Mais dans ce cas pourquoi le carré d'un négatif ne donne pas un imaginaire?


Est-ce que donne un nombre imaginaire ? J'ai l'impression que vous confondez plein de choses.

Si est un nombre positif non nul, il existe deux nombre opposés, et dont le carré est égal à et comme il y en a deux on choisit le nombre positif comme "racine carrée".
On aurait pu choisir le nombre négatif, mais cela signifierait qu'il faudrait changer le théorème de Pythagore et cela n'est pas très pratique : que penseriez-vous de "l'hypoténuse est égale à l'opposé de la racine carrée de la somme des carrés des côtés"... D'où la raison "évidente" de définir la racine carrée comme le nombre positif qui...

Pourquoi ne pas avoir laissé "l'un ou l'autre" ? Parce que cela ne serait alors plus une fonction (deux images pour le même réel positif) et qu'il faudrait faire des phrases complètes et complexes : ""l'hypoténuse est égale l'une des racines carrées de la somme des carrés des côtés, celle qui est positive"...

Donc il est naturel de définir la racine carrée comme le nombre positif qui (etc.). Cela n'empêche pas l'existence d'un second nombre négatif qui élevé au carré etc. ; et cela n'a rien à avoir avec les complexes. Le nombre imaginaire est un nombre qui élevé au carré est égal à -1, et ce nombre n'est évidemment pas réel puisque le carré de tout nombre réel est positif.
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Re: racine d'un nombre positif

par hdci » 04 Juil 2021, 01:06

lazare a écrit:
hdci a écrit:Pourquoi ne pas avoir laissé "l'un ou l'autre" ? Parce que cela ne serait alors plus une fonction (deux images pour le même réel positif) et qu'il faudrait faire des phrases complètes et complexes : ""l'hypoténuse est égale l'une des racines carrées de la somme des carrés des côtés, celle qui est positive"...


Ca serait plus long a décrire mais les choses seraient peut etre mieu définies et plus claires.


Ah, pourquoi ? Avec "une seule valeur" vous avez une fonction. Avec "plusieurs images possibles" il n'y a plus de fonction. Qu'est-ce qui est plus compliqué ? Et comment feriez-vous alors dans une formule pour exprimer la distance entre deux points (racine carrée de la somme "carré de la différence des abscisses plus carré de la différence des ordonnées" ? Comment feriez-vous pour définir la norme usuelle dans un espace vectoriel de dimension n ? comment feriez-vous pour définir le module d'un complexe (racine carrée de la somme des carrés des parties réelles et imaginaires) ? Autrement dit, ce que vous considérez comme "mieux défini donc plus clair" reviendrait à complexifier énormément ce qui aujourd'hui fonctionne très bien.

lazare a écrit:Du coup, quelle est la réciproque de ?

Pour commencer à être clair, "réciproque" s'applique sur une bijection, donc sur une application vérifiant l'existence et l'unicité de l'antécédent. Bref, ce que vous écrivez par "réciproque de n'a pas de sens.
Peut-être vouliez-vous dire "quels sont les complexes z vérifiant (parce que le caré de i c'est -1 en l'occurrence) ? Dans ce cas, il y a deux solutions qui sont très exactement et . Aucun des deux n'est positif ni négatif puisque l'ordre de corps n'existe pas dans . On ne peut donc pas utiliser le "signe" pour "choisir" lequel sera la racine carrée.

lazare a écrit:faut-il inventer un nouvel imaginaire qui mis a la racine donne i
par exemple

Je ne comprends pas ce que vient faire ici (en général utilisé comme l'une des racine 3-ème de l'unité). Il n'y a aucun imaginaire à inventer, votre question n'est pas correctement posée. Votre j en l'occurrence n'est autre que -1 puisque .

Que cherchez-vous à faire : définir une fonction "racine" qui soit définie sur ? Vous vous heurterez toujours au problème de l'ordre, mais comme chaque complexe est le carré de deux autres nombres complexes (qu'il n'y a pas besoin d'inventer une fois qu'on a imaginé le nombre ), que ces deux nombres sont opposés l'un de l'autre, vous pouvez toujours arbitrairement définir la fonction "racine carré complexe" comme étant le nombre complexe dont l'argument est compris entre 0 inclus et pi exclu.
Ainsi, la racine carrée complexe de 4 serait 2, la racine carrée complexe de -1 serait i, la racine carrée complexe de i serait , etc. ; cela reviendrait notamment, en écriture trigonométrique, à prendre la racine carrée du module et à diviser l'argument par 2 en ayant exprimé l'argument entre 0 (inclus et 2pi (exclu).

Pourquoi est-ce que cela n'a pas été décidé ainsi ? Probablement parce qu'il n'y a pas une grande utilité à cette définition. La racine carrée a une utilité dans les nombres réels (ne serait-ce que par ses applications géométriques"), c'est bien pour cela qu'il faut considérer que la définition est : "la racine carrée d'un réel positif est le nombre positif qui élevé au carré donne ce réel", tout en sachant que dans les complexes, "il y a deux solutions à l'équation d'inconnue z suivante : , ces deux solutions sont de surcroît opposées l'une de l'autre".


Il y a deux solutions à l'équations , et si a est un réel positif, on appelle racine carrée de a la solution positive de l'équation.
Modifié en dernier par hdci le 04 Juil 2021, 01:42, modifié 1 fois.
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Re: racine d'un nombre positif

par hdci » 04 Juil 2021, 01:58

lazare a écrit:Je propose un nouveau nombre imaginaire j
qui a pour propriété
et

pour palier à l'absence de la réciproque de


Si , alors soit soit, ce n'est pas un nombre imaginaire, mais c'est bien un nombre réel.
En effet, si , alors et par l'identité remarquable, or un produit est nul ssi l'un des facteurs est nul, du moins, dans comme dans .

Vous confondez, dans votre notion de "nombre imaginaire", avec ce qu'est la définition originelle du nombre imaginaire : c'est le nombre qui, élevé au carré, est égal à -1. Et là c'est bien un nombre imaginaire car aucun "vrai nombre" (au sens "nombre réel") ne peut avoir de carré strictement négatif ; c'est bien pour cela qu'on l'a appelé "imaginaire" car on a "imaginé qu'il existe".

Ce que vous définissez, c'est une "nouvelle fonction" que vous notez malheureusement de la même façon que la racine carrée : c'est la fonction qui au réel positif x associe le nombre négatif qui, élevé au carré, est égal à x.

Egalement, votre formulation "réciproque de est incorrecte : "réciproque" c'est pour une bijection, or la fonction carré n'est pas bijective dans il n'y a donc pas de réciproque ; par contre, elle est bijective de (et la réciproque est alors la "racine carrée" traditionnelle), et c'est aussi une bijection de et ce que vous "proposez" en est la réciproque.

Votre question au départ était "Une question que je me pose sur un truc me semble mystérieux ou illogique dans les math ", mais il n'y a rien de mystérieux ni d'illogique : on ne peut pas définir une "réciproque" sur une fonction qui n'est pas bijective, mais on peut se restreindre à une partie sur laquelle elle est bijective (et c'est ce qu'on a fait pour la racine carrée) ; c'est juste une question de définition et si cette définition a été choisie c'est parce qu'elle est bien pratique.

Ce n'est pas le seul cas où il n'y a pas de "bijection" : la fonction cosinus est définie sur , mais tous les réels compris entre -1 et 1 ont une infinité d'antécédents, c'est pour cela que la fonction arc-cosinus est définie à valeur dans alors que . On a donc fait un "choix" pour la fonction "arc-cosinus", on aurait pu en faire un autre (image dans , ou bien dans etc. mais il a bien fallu "arrêter" un choix).
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Re: racine d'un nombre positif

par hdci » 04 Juil 2021, 10:15

Une bijection est une application telle que chaque élément de l'ensemble d'arrivée possède un et un seul antécédent.

Ainsi la fonction est une bijection ; pour chaque réel , il y a un unique réel tel que et on appelle ce réel "la moitié" de . ,La première partie (bijection) est une propriété, la seconde partie "on appelle moitié) est une définition

De même, la fonction cube () est une bijection de car pour chaque réel , il existe un et un seul réel tel que (ça c'est la propriété). Définition : s'appelle la racine cubique de (et là pas de problème : -1 a bien une racine cubique qui est -1, -8 a une racine cubique qui est -2, 27 a une racine cubique qui est 3, etc.)

lazare a écrit:je pourais dire la meme chose pour j:

"""j : c'est le nombre qui, mis a la racine, est égal à -1. Et là c'est bien un nombre imaginaire car aucun "vrai nombre" (au sens "nombre réel") ne peut avoir de racine strictement négatif ; c'est bien pour cela qu'on l'a appelé "imaginaire" car on a "imaginé qu'il existe"."""


Non. si vous écrivez , alors ou comme je vous l'ai déjà écrit. Si vous écrivez , alors ou car et on retombe dans "le produit est nul ssi l'un des facteurs est nul.

"Aucun nombre ne peut avoir de racine strictement négative" parce que c'est une définition. Une définition n'est pas une propriété, c'est une "convention que l'on se donne pour que chacun puisse comprendre la même chose".
Le fait est que la fonction carré n'est pas bijective de car (1) il y a des nombres qui n'ont pas d'antécédent (les nombres négatifs), et (2) il y a des nombres qui ont plusieurs antécédents (tous les nombres strictement positifs ont deux antécédents). On définit donc la racine carrée dans comme étant l'antécédent positif s'il existe, c'est une définition il n'y a rien à "imaginer", on aurait pu définir autrement, mais cette définition là est bien pratique et c'est celle que tout le monde utilise. Il n'y a rien à ajouter, et cela ne retire pas le fait qu'il existe deux réels dont le carré est égal à 1 (c'est 1 et -1), et parmi ces deux réels celui qui est positif s'appelle "la racine carrée de 1".
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Re: racine d'un nombre positif

par hdci » 04 Juil 2021, 10:40

Egalement, je me suis focalisé sur la seconde partie ( ou ), mais regardons la première partie :
Soit un nombre tel que . Supposons qu'un tel existe, dans un ensemble quelconque (c'est-à-dire, réel ou imaginaire).

Elevons cette égalité au carré :

Or par définition de la racine carrée, , et on sait que

On obtient ainsi

Mais par contre, on sait aussi que (par définition de la racine carrée)
Donc et comme on obtient ce qui est évidemment toujours faux (dans n'importe quel ensemble de nombres contenant les entiers relatifs, donc a fortiori dans n'importe quel ensemble de nombres contenant les réels)

Il en résulte que n'existe tout simplement pas.

Conclusion : cette démonstration montre qu'on ne peut pas "prolonger" l'ensemble des nombres réels avec d'autres nombres dits "imaginaires", tout en prolongeant les opérations arithmétiques usuelles et en prolongeant la notion de "racine carrée" de sorte que certaines racines carrées soient strictement négatives.


Par contre, vous avez le droit de dire "pour tout réel positif , j'appelle trucmuche le nombre réel négatif tel que ". Ce faisant, "trucmuche" est une nouvelle définition et ce n'est pas la racine carrée (en l'occurrence, c'est l'opposé de la racine carrée :
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Re: racine d'un nombre positif

par lyceen95 » 04 Juil 2021, 11:58

J'aime beaucoup la fonction trucmuche proposée par hdci.

Tu parles des nombres imaginaires ... Tu veux introduire des trucs compliqués, pour résoudre un problème qui n'existe pas.
Reste avec les nombres réels. Tout est bien cohérent, nul besoin d'introduire des nombres complexes.

2 est la racine carrée de 4.
-2 est l'opposé de la racine carrée de 4.
-3 est l'opposé de la racine carrée de 9.
Cette fonction 'opposé de la racine carrée', elle n'a pas de nom plus court. N'empêche que cette fonction est clairement définie. Opposé de la racine carrée, c'est clair. C'est la composition de 2 fonctions connues.
Mais si tu veux lui donner un nom trucmuche, libre à toi.

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Re: racine d'un nombre positif

par GaBuZoMeu » 05 Juil 2021, 12:54

Lazare, vraiment, j'ai l'impression que tu bricoles au petit bonheur la chance, sans rapport avec les mathématiques. Je suis dur sans doute, mais il vaut mieux que tu évites de faire du n'importe quoi dans un domaine que visiblement tu maîtrises très mal.

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Re: racine d'un nombre positif

par hdci » 05 Juil 2021, 15:09

De toute façon : cherchons tel que , c'est une simple équation dont l'inconnue est . en élevant au carré, on obtient c'est-à-dire donc ou ; mais ceci n'est qu'une condition nécessaire (c-à-d., aucune autre valeur ne conviendra), il faut vérifier si ces valeurs conviennent.
On remarque que pour cela fonctionne, mais pour cela fait ce qui est évidemment faux, donc 1 n'est pas solution.
Bref, il y a une unique solution qui est et ce n'est toujours pas un nombre imaginaire.

Vous semblez ne pas arriver à comprendre ce qu'est une définition : c'est une "entrée dans le dictionnaire" sur laquelle il y a consensus. Il n'y a rien d'illogique ou de mystérieux dans une définition, et en général pas grand chose à comprendre sur le "pourquoi cette définition".

Exemple : le ciel est bleu. Pourquoi ? Parce que depuis que je suis tout petit on m'a dit que cette couleur s'appelle "bleu". Il n'y a rien à comprendre, c'est une définition. A quoi cela rimerait-il de trouver une "couleur imaginaire" qui s'appellerait également "bleu" mais qui n'aurait pas la même fréquence lumineuse ???
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Re: racine d'un nombre positif

par hdci » 05 Juil 2021, 22:41

Vous n'avez pas le niveau pour comprendre ce qu'est une définition ?
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Re: racine d'un nombre positif

par hdci » 05 Juil 2021, 23:02

Si je mets des x à la place des j, c'est mieux ?

Si alors (mais la réciproque est fausse : si alors x n'est pas forcément égal à y ; contre-exemple : et , c'est pour cela que je parle de "condition nécessaire", comme on va le voir ci-dessous).

Partant de là, si alors

Or et

Donc si alors . Et si alors

Comme on en déduit ce résultat : si alors

Maintenant on utilise le fait qu'un produit est nul si et seulement si un facteur est nul : donc si et seulement si OU .

D'où ce résultat : si alors OU

C'est cela la "condition nécessaire" : il est nécessaire que ou pour que , mais ce n'est pas suffisant (autrement dit : "il est nécessaire qu'il y ait des nuages pour qu'il pleuve, mais ce n'est pas parce qu'il y a des nuages qu'il pleut"). Par contre on sait que si x est différent de zéro et de 1, alors forcément

Pour savoir si 0 ou 1 est vraiment une solution, on remplace, et on voit qu'avec 0 ça marche : , mais avec 1 ça ne marche pas : (encore une fois parce que par définition )

Bref, on a montré que la seule solution à , c'est

Maintenant, le fait qu'on écrive à la place ne change rien à l'affaire, car les lettres sont "muettes" : dans le premier cas l'inconnue est , dans l'autre c'est mais ce n'est qu'une question de notation.
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Re: racine d'un nombre positif

par lyceen95 » 06 Juil 2021, 01:03

Revenons à des choses simples. Revenons au tout premier message :

On dit que la fonction racine carré est la réciproque de la fonction carrée (sur wikipédia).

Hdci l'avait fait remarquer : si Wikipedia dit ça, c'est faux.
Il doit y avoir des trucs faux de temps en temps sur Wikipedia, mais très peu, et pas sur des choses aussi simples. A notre niveau, faisons confiance à Wikipedia.
Wikipédia ne dit pas ça.
Wikipedia dit : L’application x --> est une bijection de ℝ+ sur ℝ+ dont la réciproque est notée x -->

On parle de R+, et pas de R. Et ça change tout.

En maths, il faut être rigoureux. Il ne faut pas aller s'amuser avec des maths 'supérieures', des histoires avec des nombres complexes, si on ne maitrise pas ce qui se passe dans R.

En fin de collège, un bon élève sait que cette histoire de racine carrée qui est la réciproque de la fonction x², c'est vrai uniquement si on travaille uniquement sur R+
Il n'a jamais entendu parler de nombres complexes, mais il sait ça.

Commencer par bien maitriser ce qui se passe dans R, par bien lire ce qui est écrit, et ne pas zapper les petits + ici ou là qui changent tout.
Et ensuite, il sera toujours temps d'attaquer des choses compliquées.

 

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