lazare a écrit: hdci a écrit:Pourquoi ne pas avoir laissé "l'un ou l'autre" ? Parce que cela ne serait alors plus une fonction (deux images pour le même réel positif) et qu'il faudrait faire des phrases complètes et complexes : ""l'hypoténuse est égale l'une des racines carrées de la somme des carrés des côtés, celle qui est positive"...
Ca serait plus long a décrire mais les choses seraient peut etre mieu définies et plus claires.
Ah, pourquoi ? Avec "une seule valeur" vous avez une fonction. Avec "plusieurs images possibles" il n'y a plus de fonction. Qu'est-ce qui est plus compliqué ? Et comment feriez-vous alors dans une formule pour exprimer la distance entre deux points (racine carrée de la somme "carré de la différence des abscisses plus carré de la différence des ordonnées" ? Comment feriez-vous pour définir la norme usuelle dans un espace vectoriel de dimension n ? comment feriez-vous pour définir le module d'un complexe (racine carrée de la somme des carrés des parties réelles et imaginaires) ? Autrement dit, ce que vous considérez comme "mieux défini donc plus clair" reviendrait à complexifier énormément ce qui aujourd'hui fonctionne très bien.
lazare a écrit:Du coup, quelle est la réciproque de
?
Pour commencer à être clair, "réciproque" s'applique sur une bijection, donc sur une application vérifiant l'existence et l'unicité de l'antécédent. Bref, ce que vous écrivez par "réciproque de
n'a pas de sens.
Peut-être vouliez-vous dire "quels sont les complexes z vérifiant
(parce que le caré de i c'est -1 en l'occurrence) ? Dans ce cas, il y a deux solutions qui sont très exactement
et
. Aucun des deux n'est positif ni négatif puisque l'ordre de corps n'existe pas dans
. On ne peut donc pas utiliser le "signe" pour "choisir" lequel sera la racine carrée.
lazare a écrit:faut-il inventer un nouvel imaginaire qui mis a la racine donne i
par exemple
Je ne comprends pas ce que vient faire ici
(en général utilisé comme l'une des racine 3-ème de l'unité). Il n'y a aucun imaginaire à inventer, votre question n'est pas correctement posée. Votre j en l'occurrence n'est autre que -1 puisque
.
Que cherchez-vous à faire : définir une fonction "racine" qui soit définie sur
? Vous vous heurterez toujours au problème de l'ordre, mais comme chaque complexe est le carré de deux autres nombres complexes (qu'il n'y a pas besoin d'inventer une fois qu'on a imaginé le nombre
), que ces deux nombres sont opposés l'un de l'autre, vous pouvez toujours arbitrairement définir la fonction "racine carré complexe" comme étant le nombre complexe dont l'argument est compris entre 0 inclus et pi exclu.
Ainsi, la racine carrée complexe de 4 serait 2, la racine carrée complexe de -1 serait i, la racine carrée complexe de i serait
, etc. ; cela reviendrait notamment, en écriture trigonométrique, à prendre la racine carrée du module et à diviser l'argument par 2 en ayant exprimé l'argument entre 0 (inclus et 2pi (exclu).
Pourquoi est-ce que cela n'a pas été décidé ainsi ? Probablement parce qu'il n'y a pas une grande utilité à cette définition. La racine carrée a une utilité dans les nombres réels (ne serait-ce que par ses applications géométriques"), c'est bien pour cela qu'il faut considérer que la définition est : "la racine carrée d'un réel positif est le nombre positif qui élevé au carré donne ce réel", tout en sachant que dans les complexes, "il y a deux solutions à l'équation d'inconnue z suivante :
, ces deux solutions sont de surcroît opposées l'une de l'autre".
Il y a deux solutions à l'équations
, et si a est un réel positif, on appelle racine carrée de a la solution positive de l'équation.
Il n'y a que 10 types de personne au monde : ceux qui comprennent le binaire et ceux qui ne le comprennent pas.