J’ai raisonné en découpant ma sphère en de multiples petits cylindres selon l’axe z. Chaque cylindre est à la distance z du centre de la sphère (origine). Le rayon de chaque cylindre est: r(z)=sqrt(R²-z²). Le périmètre de chaque cylindre est 2πr(z) et leur hauteur est dz.
La surface de chaque petit cylindre est alors 2πr(z)dz. J’ai résolu ça sur Python et je trouve π² comme résultat et non pas 4π pour une sphère de rayon unitaire.
En effet, quand on calcule l’intégrale de 2πr(z)dz avec r(z)=sqrt(R²-z²) entre z=-R et z=+R, on trouve π²R² et non pas 4πR². Voici mon problème.
Avec ce raisonnement (je sais comment arriver au résultat 4πR² en coordonnées sphériques mais je veux à tout prix découper la sphère en cylindres), comment arriver à 4πR² avec cette méthode de découpage ? Mon élément de surface 2πr(z)dz n’est-il pas bon ?
Je précise que j’ai utilisé la même méthode pour calculer le volume de la sphère et ça marche très bien ! Chaque cylindre a une surface πr²(z) et est de hauteur dz. L’intégrale de πr²(z)dz avec toujours r(z)=sqrt(R²-z²) entre z=-R et z=+R donne bien 4/3πR^3. C’est trop bizarre que ça marche pour l’un mais pas pour l’autre
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