Série entière et rayon de convergence
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Samoth
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par Samoth » 18 Juin 2021, 07:49
Bonjour,
On suppose que
avec
.
On considère alors la série entière
.
On souhaite montrer que le rayon de convergence de cette série est
.
Alors
.
i) Si
i.e. si
, alors
converge d'après le critère de d'Alembert pour les séries, ET DONC
.
Voilà, c'est cette toute dernière conséquence que je ne comprends pas.
est le sup de l'ensemble des
tel que la suite
soit bornée.
Si
, alors
converge et donc on devrait avoir a fortiori que
, non ?
Je sèche.
Merci d'avance
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hdci
- Membre Irrationnel
- Messages: 1962
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par hdci » 18 Juin 2021, 08:10
Bonjour,
Vous confondez condition suffisante. condition nécessaire.
"Si |z|<1/l alors la série converge" : il suffit que |z|<1/l pour que la série soit convergente, l'inégalité |z|<1/l est une condition suffisante. Elle n'est pas nécessaire, il est donc possible que la série soit convergente si |z| est supérieur à 1/l
Le rayon de convergence est donc au moins 1/l puisque pour tout |z|<R, la série converge et pour tout |z|>R la série diverge : si R était inférieur à 1/l, on aurait une contradiction avec |z| compris entre R et la moyenne de R et 1/l.
Autre façon de voir les choses : vois savez certainement que la série de l'exponentielle (x^n/n!) a pour rayon l'infini. Vous pouvez donc dire "pour tout |z|<10, la série converge" : c'est vrai. Mais cela n'indique pas que le rayon de convergence est inférieur à 10, au contraire, et la preuve c'est qu'il est infini.
Si par contre on était dans l'autre sens : "il faut que |z|<a pour que la série converge", ce qui se traduirait par "La série converge => |z|<a", là vous pourriez dire que le rayon de convergence est R<=a.
Il n'y a que 10 types de personne au monde : ceux qui comprennent le binaire et ceux qui ne le comprennent pas.
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Samoth
- Membre Naturel
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par Samoth » 18 Juin 2021, 09:48
Merci hdci, c'est très clair !
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