Implication et probabilités

[GaBuZoMeu]

Bonjour,

Je remets une thune dans le bastringue du "Si ... alors ...", avec cette fois un parfum de proba.

Soit E un ensemble à n éléments, et soient A et B des parties de E tirées au hasard. Toutes les parties de E sont équiprobables, et les tirages sont indépendants.
Tirer une partie de E au hasard, c'est pour chaque élément de E tirer à pile ou face s'il appartient à cette partie.

Question : quelle est la probabilité que A soit contenue dans B ?
Où est l'implication ? Ben voila : ça revient à demander la probabilité de l'événement "Pour tout élément x de E, si x appartient à A alors x appartient à B".

[hdci]

(J'ai proposé une réponse en privé pour ne pas spoiler)

[Vassillia]

Bonjour,
Je ne sais pas si j'ai le droit de jouer ou si c'est réservé donc je mets ma réponse en blanc
(3/4)^n

[GaBuZoMeu]

Le résultat n'est pas trop difficile à trouver. Et si on se sert de :
"Si P, alors Q" est vrai dès que P est faux
le raisonnement prend une ligne (deux si on écrit gros).

[Vassillia]

Je me doute bien de ce que tu veux dire et j'ai clairement fait ainsi vu la manière dont tu orientais la question.
Pour le fun, si je ne me suis pas trompée, je devrai pouvoir proposer une démonstration de ma réponse par la "méthode séquentielle" juste en partant du problème sous sa forme inclusion.
C'est beaucoup moins joli et beaucoup plus long mais je crois savoir qu'il y a au moins un amateur

[hdci]

Bonjour Vassilia, par "méthode séquentielle", tu veux parler de dénombrement ? (C'est la méthode que j'ai utilisée et qui donne le même résultat que celui que tu indiques, mais GaBuZoMeu m'a répondu qu'il y avait beaucoup plus simple)

[Vassillia]

Je dis "méthode séquentielle" pour faire plaisir à Beagle car il s'agit de dénombrer les B qui vérifient la propriété "sachant A" enfin, je pense qu'on parle de la même chose, je n'ai pas d'autres idées de raisonnement.
Je te laisserai la donner alors

Si je dois être tout à fait honnête, sans la phrase "Pour tout élément x de E, si x appartient à A alors x appartient à B" pas sure que j'aurai pensé à la version simple qui se trouve être nettement plus jolie, enfin je trouve.

[hdci]

OK puisque la méthode de dénombrement est "moins jolie", la voici :
Il y a parties dans E, donc si on considère les couples de parties (A,B), cela fait couples différents. La sélection de partie étant équiprobable, la probabilité d'un événement sera le cardinal de cet événement divisé par

Il s'agit donc de dénombrer le nombre de couples (A,B) où

Je commence par considérer : si , cela indique que est une partie prise dans un ensemble de n-k éléments, il y en a et puisqu'il y a parties à k éléments possibles pour A, cela fait au total couples (A,B) où et

Il n'y a plus qu'à ajouter tout cela (puisque les événements décrits par "" sont disjoints deux à deux (quand k varie) ce qui fait



Bref couples (A,B) où , parmi couples au total d'où le résultat.

[Vassillia]

J'essaye de tenir le challenge de respecter la contrainte d'une seule ligne mais du coup je vais faire soft dans les explications :

[GaBuZoMeu]

En deux lignes :
Pour chaque x de E, on fait deux tirages à pile ou face et "Si x dans A, alors x dans B" est vrai dans trois issues sur quatre. Donc la probabilité que A soit contenu dans B est (3/4)^n.
Et en à peine plus :
Deux sous-patates A et B divisent la grande patate E en quatre régions. Il y a 4^n distributions possibles des éléments de E, et parmi elles 3^n qui évitent la région "dans A et pas dans B". La probabilité que A soit contenu dans B est donc 3^n/4^n.
De cette façon, on résout de tête un problème du genre : on tire au hasard quatre parties A, B, C, D d'un ensemble à n éléments. Quelle est la probabilité que la réunion de A et B soit contenue dans l'intersection de C et D ?

[Vassillia]

Je répondrai car



Avec un schéma type patate, je dois éviter ( ou ) et ( ou ) autrement dit si j'écris en binaire les régions ABCD en codant par exemple 0101 si appartient à B et à D mais ni à A ni à C, je dois éviter les régions en rouge

0000
1000 0100 0010 0001
1100 1010 1001 0110 0101 0011
1110 1101 1011 0111
1111

Effectivement je peux le faire de tête, il me faut un 1 en première ou deuxième place (ou les 2) et un 0 en troisième ou quatrième place (ou les 2). J'ai donc cas à éviter sur
J'admets que c'est classe de pouvoir le faire ainsi !

[GaBuZoMeu]

Ou alors :
pour x de E donné : proba 1/4 de ne pas appartenir à A union B, et après c'est bon ;
proba 3/4 d'appartenir à A union B, et ensuite proba 1/4 d'appartenir à C inter D (je fais du séquentiel).
Donc (1/4 + 3/4x1/4)^n.

[Vassillia]

Ah si tu utilises le séquentiel, forcément tu as un avantage, je viens de réaliser qu'on se permet des références communautaires car jamais je n'utilise ou lis ce mot ailleurs, c'est sympa je trouve !

Dans ce cas, je ne suis pas sure qu'il y ait une nette plus value par contre j'aime vraiment bien ta version où choisir au hasard des parties de E c'est envoyer chaque élément de E dans l'une des régions définies par les patates. C'est très facile à visualiser comme un tir sur cible où l'impact suit une loi uniforme avec pour support l'ensemble des régions et j'en connais un qui ne va pas être content (je suis sure que tu auras la référence aussi).