Voilà je dispose dun exercice où je suis bloquer à plusieurs questions !
Pouvez-vous maidez ?
Merci.
Partie A
Soit la fonction f définie sur lintervalle [0 ; 2] par : f(x)=(2x+1)/(x+1).
Etudier les variations de f sur [0 ; 2] et tracer la courbe de f avec précision sur cet intervalle dans un repère orthonormé dunités 4cm.
f(x) est définie sur lintervalle [0 ; 2] et dérivable sur [0 ; 2].
f(x) = (uv vu)/v²
avec u(x) = 2x+1 -> u(x) = 2
et v(x) = x+1 -> v(x) = 1
f(x) = (2(x+1)-1(2x+1))/(x+1)²
f(x) = (2-1)/(x+1)²
f(x) = 1/(x+1)²
[url="http://img242.imageshack.us/my.php?image=tableaudesignezc4.jpg"]
[/url]f(0) = (2*0+1)/(0+1) = 1
f(2) = (2*2+1)/(2+1) = 5/3
[url="http://img82.imageshack.us/my.php?image=courbeyr7.jpg"]
[/url]Partie B Soient (Un) et (Vn) deux suites définies par :
U0 = 1 et pour tout entier naturel n, Un+1 = f(Un)
V0 = 2 et pour tout entier naturel n, Vn+1 = f(Vn)
1) Sur le graphique de la courbe de f tracée dans la partie A, construire sur laxe des abscisses les trois premiers termes de chacune des suites (Un) et (Vn) en laissant apparents tous les traits de construction.
A partir de ce graphique, que peut-on conjecturer concernant le sens de variation et la convergence des suites (Un) et (Vn) ?
[url="http://img242.imageshack.us/my.php?image=courbe2ra2.jpg"]
[/url]Je narrive pas à le faire pour les premiers termes de la suite (Vn).
2) Montrer que pour tout entier n, 1;)Vn;)2 et Vn+1;)Vn.
On admettra que lon peut démontrer de la même façon que : pour tout entier naturel n, 1;)Un;)2 et Un;)Un+1.
Alors ici, il faut raisonner par récurrence.
Soit Pn : « 1;)Vn;)2 et Vn+1;)Vn »
Initialisation : - V0 = 2
et donc 1;)V0;)2
- V0 = 2
et V1 = V0+1 = 5/3
et donc V0+1;)V1
La propriété P0 est vraie.
On vient de démontrer par récurrence que la propriété est vraie pour un certain rang n et on démontre qualors Pn est vraie pour le rang suivant.
et cest ici où je bloque
3) Montrer que pour tout entier naturel n, Vn+1 Un+1 = (VnUn)/((Vn + 1)(Un + 1)).
En déduire que pour tout entier naturel n, Vn-Un
0 : Vn+1 Un+1 ¼(Vn-Un).4) Démontrer que pour tout entier naturel n, Vn-Un
(¼)^n.5) Montrer que les suites (Un) et (Vn) convergent vers un même réel
.Déterminer la valeur exacte de
. Merci à tous de l'aide que vous pourriez m'apporter...
et pas avec 
.