Suite à expliciter
Olympiades mathématiques, énigmes et défis
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catamat
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par catamat » 27 Mai 2021, 11:49
Bonjour
Je cherche à définir cette suite récurrente sous forme explicite, mais je ne sais pas si cela est possible :
Soit k et r deux réels strictement supérieur à 1
Soit la suite
telle que
=1
et pour tout entier n, on a :
Si vus avez des idées ou des solutions merci d'avance.
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GaBuZoMeu
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par GaBuZoMeu » 27 Mai 2021, 17:10
Bonjour,
Réponse habituelle : expliciter pour les petites valeurs de n, et voir ce qui se dégage (si quelque chose se dégage).
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mathelot
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par mathelot » 27 Mai 2021, 17:44
bonjour,
écris n égalités;
.....
multiplie la deuxième égalité par k
multiplie la troisième égalité par
..
la dernière par
additionne ces n égalités, ça se simplifie et
s'écrit comme une somme de n termes
d'une progression géométrique. Une fois trouvé la formule pour
, on la démontre par récurrence.
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catamat
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par catamat » 27 Mai 2021, 20:08
Un grand merci Mathelot....
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mathelot
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par mathelot » 27 Mai 2021, 20:42
mathelot a écrit:bonjour,
écris n égalités;
.....
additionne ces n égalités, ça se simplifie et
s'écrit comme une somme de n termes
d'une progression géométrique. Une fois trouvé la formule pour
, on la démontre par récurrence.
il reste à exprimer cette dernière somme comme la somme des termes en progression géométrique:
à la fin , on trouve
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catamat
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par catamat » 28 Mai 2021, 10:53
Ok
j'avais pensé à utiliser l'identité remarquable
mais c'est la même chose bien sûr. Encore merci beaucoup
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