Restriction d'une distribution

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Rhaegar
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Restriction d'une distribution

par Rhaegar » 18 Mai 2021, 13:11

Bonjour,

Est-il possible de restreindre des distributions singulières telles que des Dirac ?

Par exemple, pour la distribution


avec une distribution sur la variable x et une distribution sur la variable y. Les et sont des réels.
Peut-on restreindre f à l'axe des x par exemple ? Si oui, quelle est la bonne façon de le faire ?

Merci.



Skullkid
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Re: Restriction d'une distribution

par Skullkid » 18 Mai 2021, 15:16

Bonjour, on peut restreindre les distributions à condition que le domaine de restriction soit un ouvert : partant d'un ouvert et d'une distribution , on définit la restriction de à un ouvert par , où et est l'opérateur qui prolonge à tout entier en lui assignant la valeur 0 en dehors de .

Donc a priori on ne peut pas restreindre une distribution du plan à une droite. Cela étant dit, vu que la distribution que tu donnes en exemple ne "charge" qu'un nombre fini de points, si tu prends une droite D, tu vas pouvoir choisir des bandes ouvertes de plus en plus fines autour de D telles que le comportement des restrictions de f à ces bandes finit par stationner à . Dans ce cas particulier ça me paraît pas choquant de faire l'abus de langage qui consiste à dire que tu as restreint f à D, mais ce tour de passe-passe ne se généralise pas.

À confirmer si des analystes expérimentés passent par là.

Rhaegar
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Re: Restriction d'une distribution

par Rhaegar » 18 Mai 2021, 16:45

Super, merci de ta réponse. Je pense que je devrais plutôt utiliser le terme de trace plutôt que restriction. La trace étant en quelque sorte la restriction à une sous variété de dimension n-1 . D'un point de vue "fonction", si la fonction n'est pas assez régulière ( j'entends que la fonction n'est pas dans le bon espace de sobolev), la trace de la fonction n'a pas forcément de sens. Ici, c'est la même problématique sauf que les dirac sont tout sauf régulier donc il y avait peu de chance que ça marche.

Si je comprends bien, en faisant l'abus que tu proposes, la restriction sur une droite du plan consisterait à ne considérer que les dirac présent sur cette droite.

Skullkid
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Re: Restriction d'une distribution

par Skullkid » 26 Mai 2021, 13:37

Oui, et dans ce cas particulier je pense pas que l'abus soit bien grave.

Sinon ça pourrait en effet valoir le coup de regarder si on peut définir un opérateur trace pour les distributions ou certaines d'entre elles. Dans mes souvenirs, la trace a besoin de vivre dans donc ça ne me paraît compromis, mais tout ça remonte à trop loin donc je préfère ne rien affirmer !

 

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