Bonjour,
Un bon moyen de "comprendre" est de tracer un arbre, sauf que l'arbre ne peut guère dépasser 3 ou 4 itérations (au-delà, cela fait beaucoup trop de branches). en effet, "2 fumeurs parmi 5 hommes rencontrés au hasard", cela revient à répéter 5 fois de suite "je prends un homme au hasard et je regarde s'il fume ou pas", avec la probabilité "2/5 qu'il fume". Le nombre total de chemins est exactement gal à 2 puissance 5 puisqu'on double les cas à chaque itération.
Commençons : premier homme : soit il fume, soit il ne fume pas.
Second homme : à partir de chacun des deux cas précédent, soit il fume, soit il ne fume pas. On a donc à ce stade 4 possibilités : (F,F) ; ( F, pas F) ; (pas F, F) et (pas F, pas F)
Troisième homme : même chose, donc (F,F,F), (F,F pas F), etc. cela fait 8 possibilités.
Sur chacune des branches, on indique la probabilité : 2/5 pour F, 3/5 pour "pas F". Et la règle est : pour un chemin donné, les probabilités rencontrées se multiplient Donc pour un chemin ayant 1 fumeur et 2 non fumeur (sur 3), cela fait 2/5 fois 3/5 fois 3/5.
Le fait d'avoir un arbre avec 5 étapes au lieu de 3 ne change pas grand chose : pour un chemin qui comporte exactement 2 fumeurs et 3 non fumeurs, on multiplie les probabilités rencontrées et cela fait 2/5 fois 2/5 fois 3/5 fois 3/5 fois 3/5, soit en fait (2/5) au carré, multiplié par (3/5) au cube.
S'il y avait n répétitions, un chemin ayant exactement k fumeurs (donc n-k non fumeurs) aurait une probabilité de (2/5) puissance k, multipliée par (3/5) puissance (n-k).
Maintenant, cela c'est pour un chemin : par exemple, (F,pas F, pas F, F, pas F) est un chemin comportant 2 fumeurs et 3 non fumeurs. Mais il y a un autre chemin possible : (pas F, F, F, pas F, pas F). Et en fait il y a plein d'autres chemins possibles.
Le nombre de chemin, c'est ça le fameux "coefficient binomial" qui vaut C(5;2), signifiant "2 parmi 5". Et comme tous les chemins comportant 2 fumeurs ont chacun la même probabilité : (2/5) au carré multiplié par (3/5) au cube, et l'événement "2 fumeurs parmi 5" correspondant à l'ensemble de ces chemins, la probabilité de "2 fumeurs parmi 5" est la somme des probabilités de ces chemins, soit le coefficient binomial multiplié par (2/5) au carré multiplié par (3/5) au cube.
Généralisation : si la probabilité de succès est p, s'il y a n répétitions et si on s'intéresse à la probabilité d'avoir k succès, on a donc C(n,k), le coefficient binomial "k parmi n", multiplié par (p puissance k) car il y a k succès de probabilité p chacun, multiplié par (1-p) puissance (n-k), car s'il y a k succès sur n, il y a donc (n-k) échecs, et si la proba du succès est p, la proba de l'échec est 1-p, ce qui donne
Il n'y a que 10 types de personne au monde : ceux qui comprennent le binaire et ceux qui ne le comprennent pas.